Verificar a convergência das séries
sum cos (n pi)raizn

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^inftycos(npi)raizn. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste da série alternante (Leibniz) e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Observamos que cos(npi)=(-1)^n. Assim a série pode ser reescrita como
sumn=1^inftycos(npi)raizn=sumn=1^infty(-1)^nraizn

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz precisamos checar três pontos: 1) os termos an=1/raizn são positivos; 2) an é uma sequência decrescente, pois 1/raizn+1<1/raizn para todo n; 3) limntoinftyan=limntoinfty1/raizn=0. Todos os requisitos se satisfazem, logo a série alternante converge.

Passo 4

Agora verificamos a convergência absoluta analisando
sumn=1^inftyl|(-1)^nraiznr|=sumn=1^infty1raizn

Passo 5

Essa última é uma p-série com p=1/2<=1, que diverge. Portanto, a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge de forma condicional (pelo teste de Leibniz), mas não converge absolutamente.

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