Verificar a convergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, mais especificamente, vamos usar testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para entender melhor o comportamento dos termos. A gente tem:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos separar os logaritmos usando a propriedade
:
E simplificar cada parte:
Então:
Passo 4
Para analisar a convergência da série, vamos investigar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Vamos calcular o limite de
quando
:
Sabemos que
, então:
E para o segundo termo:
Então, o limite fica:
Passo 5
Como o limite de
é
, isso significa que os termos da série não tendem a zero. E uma condição necessária para a convergência de uma série
é que
. Como não é esse o caso, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.