Verificar a convergência das séries
sum log (n+32 n^3-3 n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries infinitas, mais especificamente, vamos usar testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para entender melhor o comportamento dos termos. A gente tem:
an = log ( n+32n^3 - 3n )
Podemos fatorar o denominador:
2n^3 - 3n = n(2n^2 - 3)
Então, a expressão fica:
an = log ( n+3n(2n^2 - 3) ) = log ( n+3n cdot 12n^2 - 3 )

Passo 3

Agora, vamos separar os logaritmos usando a propriedade an = log ( n+3n ) + log ( 12n^2 - 3 ) :
log ( n+3n ) = log (1 + 3n )
E simplificar cada parte:
log ( 12n^2 - 3 ) = -log (2n^2 - 3)
an = log (1 + 3n ) - log (2n^2 - 3)
Então:

Passo 4

Para analisar a convergência da série, vamos investigar o comportamento de limn to infty an = limn to infty [ log (1 + 3n ) - log (2n^2 - 3) ] quando log (1 + 3n ) approx 3n (usando a aproximação log(1+x) approx x para x pequeno) tende ao infinito. Vamos calcular o limite de log (2n^2 - 3) approx log (2n^2) = log 2 + 2 log n quando limn to infty ( 3n - log 2 - 2 log n ) = -infty :
Sabemos que , então:
çã
E para o segundo termo:
Então, o limite fica:

Passo 5

Como o limite de é , isso significa que os termos da série não tendem a zero. E uma condição necessária para a convergência de uma série é que . Como não é esse o caso, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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