Verificar a convergência das séries
sum nlog (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^inftynlog(n+1). O conteúdo principal aqui é o teste da convergência, em particular o teste necessário de que o termo geral deve tender a zero para a série convergir.

Passo 2

Para qualquer série sum an, se an não tende a zero quando ntoinfty, então a série diverge. Vamos calcular o limite do termo geral, observando o termo geral:
an = nlog(n+1)

Passo 3

Como log(n+1) cresce mais lentamente que n, o quociente n/log(n+1) tende a +infty. Formalmente,
limntoinftynlog(n+1) = +infty

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero (na verdade tende a infinito), pela condição necessária para convergência de séries, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

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