Verificar a convergência das séries
Passo 1
Resumo da questão e ferramentas: Queremos verificar a convergência da série
. Como os termos são positivos, vamos usar o teste de comparação de limite com uma p-série, que é uma ferramenta clássica para séries do tipo
.
Passo 2
Comportamento assintótico do termo geral: Observe que
. Para
, tanto
quanto
tendem a 1. Logo,
a_n \approx \frac{4}{\sqrt{n^3}} = \frac{4}{n^{3/2}}.$
Definição da série comparadora: Escolhemos como série comparadora a p-série , com
a_n \approx \frac{4}{\sqrt{n^3}} = \frac{4}{n^{3/2}}.$
Definição da série comparadora: Escolhemos como série comparadora a p-série
Passo 3
Cálculo do limite para o teste de comparação: Definindo
, fazemos
Passo 4
Conclusão do teste de comparação: Como
e sabemos que a p-série
converge (pois
), a série original também converge pelo teste de comparação de limite.
Resposta
A série
é convergente (convergência absoluta) pelo teste de comparação com a p-série de expoente
.