Verificar a convergência das séries
sum 4raizn(n+1)(n+2)

Passo 1

Resumo da questão e ferramentas: Queremos verificar a convergência da série sumn=1^infty 4raizn(n+1)(n+2). Como os termos são positivos, vamos usar o teste de comparação de limite com uma p-série, que é uma ferramenta clássica para séries do tipo 1/n^p.

Passo 2

Comportamento assintótico do termo geral: Observe que n(n+1)(n+2)=n^3(1+1/n)(1+2/n). Para ntoinfty, tanto 1+1/n quanto 1+2/n tendem a 1. Logo,
a_n \approx \frac{4}{\sqrt{n^3}} = \frac{4}{n^{3/2}}.$
Definição da série comparadora: Escolhemos como série comparadora a p-série Definição da série comparadora: Escolhemos como série comparadora a p-série , com
, com

Passo 3

Cálculo do limite para o teste de comparação: Definindo an=4/raizn(n+1)(n+2), fazemos
limntoinfty anbn = limntoinfty 4/raizn(n+1)(n+2)1/n^3/2 = 4 limntoinfty n^3/2raizn^3(1+1/n)(1+2/n) = 4

Passo 4

Conclusão do teste de comparação: Como 0<4 e sabemos que a p-série sum bn=sum 1/n^3/2 converge (pois 3/2>1), a série original também converge pelo teste de comparação de limite.

Resposta

A série sumn=1^infty 4raizn(n+1)(n+2) é convergente (convergência absoluta) pelo teste de comparação com a p-série de expoente 3/2.

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