Verificar a convergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série infinita
converge ou não. Aqui estamos lidando com séries numéricas, especificamente analisando a convergência usando técnicas de séries alternadas e de séries de termos gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo dentro do seno para facilitar a análise. Observa que:
Como o seno tem período
, podemos simplificar:
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Dependendo se
é par ou ímpar:
- Se
for par, , então temos . - Se
for ímpar, , então temos .
Então, o termo
alterna entre
e
conforme
aumenta.
Passo 4
Dessa forma, a série original fica:
Isso porque
.
Passo 5
Agora, temos uma série alternada da forma
, que é conhecida como a série harmônica alternada. Para verificar a convergência dessa série, usamos o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que se os termos
são positivos, decrescem monotonamente e tendem a zero quando
, então a série
converge.
Vamos verificar:
-
para todo . -
é decrescente porque . -
.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
é convergente.
Resposta
A série
converge.