Verificar a convergência das séries
sum sen((4 n+(-1)^n 3) pi2)n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série infinita
sum sin((4n + (-1)^n 3) pi2)n
converge ou não. Aqui estamos lidando com séries numéricas, especificamente analisando a convergência usando técnicas de séries alternadas e de séries de termos gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo dentro do seno para facilitar a análise. Observa que:
(4n + (-1)^n 3)pi2 = 2npi + (-1)^n 3pi2
Como o seno tem período sin(2npi + (-1)^n 3pi2) = sin((-1)^n 3pi2) , podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos analisar . Dependendo se é par ou ímpar:
  • Se for par, , então temos .
  • Se for ímpar, , então temos .
Então, o termo alterna entre e conforme aumenta.

Passo 4

Dessa forma, a série original fica:
sum (-1)^n+1n
Isso porque .

Passo 5

Agora, temos uma série alternada da forma , que é conhecida como a série harmônica alternada. Para verificar a convergência dessa série, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que se os termos são positivos, decrescem monotonamente e tendem a zero quando , então a série converge.
Vamos verificar:
  1. para todo .
  2. é decrescente porque .
  3. .

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
sum (-1)^n+1n
é convergente.

Resposta

A série
sum sin((4n + (-1)^n 3) pi2)n
converge.

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