Verificar a convergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série
converge ou não. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente para séries alternadas, que são aquelas que têm termos com sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa. Vamos precisar entender o que é uma série alternada e usar alguns testes para ver se ela soma para um número definido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é alternada. A expressão
faz com que os termos da série alternem os sinais: quando
é par,
é positivo, e quando
é ímpar, é negativo. Então, sim, temos uma série alternada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é monótona decrescente (cada termo é menor ou igual ao anterior). - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
Vamos identificar o
na nossa série. Comparando com a forma geral, temos:
Precisamos verificar se
é positivo, decrescente e se seu limite é zero.
Passo 5
Primeiro, verificamos se
é positivo. Como
e
são sempre positivos para
, então
é positivo.
Passo 6
Agora, vamos ver se
é decrescente. Olhando para
, percebemos que:
Comparando
e
:
Isso confirma que
está de fato diminuindo conforme
aumenta.
Passo 7
Por último, precisamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, o limite de
não é zero, mas sim 1.
Resposta
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito. Portanto, a série
não converge.