Verificar a convergência das séries
sum (-1)^n nn+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série sum (-1)^n nn+1 converge ou não. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especialmente para séries alternadas, que são aquelas que têm termos com sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa. Vamos precisar entender o que é uma série alternada e usar alguns testes para ver se ela soma para um número definido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é alternada. A expressão (-1)^n faz com que os termos da série alternem os sinais: quando n é par, (-1)^n é positivo, e quando n é ímpar, é negativo. Então, sim, temos uma série alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos.
  2. A sequência an é monótona decrescente (cada termo é menor ou igual ao anterior).
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.

Passo 4

Vamos identificar o an na nossa série. Comparando com a forma geral, temos:
an = nn+1
Precisamos verificar se an é positivo, decrescente e se seu limite é zero.

Passo 5

Primeiro, verificamos se an é positivo. Como n e n+1 são sempre positivos para n >= 1, então an é positivo.

Passo 6

Agora, vamos ver se an é decrescente. Olhando para an = nn+1, percebemos que:
an+1 = n+1n+2
Comparando an e an+1:
nn+1 > n+1n+2
Isso confirma que an está de fato diminuindo conforme n aumenta.

Passo 7

Por último, precisamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty nn+1 = limn to infty 11 + 1n = 1
Então, o limite de an não é zero, mas sim 1.

Resposta

Como o limite de an não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito. Portanto, a série sum (-1)^n nn+1 não converge.

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