Verifique se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
, que cai no tópico de testes de convergência de séries e depois, em caso de convergência, estimação da soma.
Passo 2
Para verificar convergência, note que para
grande temos
e
. Assim o termo geral se comporta como
Como sabemos que a série
converge (por comparação com
ou por integral), conclui-se que a nossa série também converge.
Passo 3
Para tentar achar a soma, decompomos o denominador:
Então
Isso nos permite escrever a soma parcial até
como
e em seguida reindexar o segundo somatório, mas não ocorre um telescópio simples que se feche em forma elementar.
Passo 4
Como não há cancelamento completo, estimamos a soma numericamente. Calculamos uma soma parcial razoavelmente grande (por exemplo até
) e corrigimos o restante da cauda por uma integral:
Fazendo as contas, obtemos uma estimativa
Passo 5
Portanto a série converge e, numericamente, sua soma é aproximadamente
.
Resposta
A série converge e sua soma aproximada é 1,27.