Verifique se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma.
sumn=1^infty ln (n+1)n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série sumn=1^infty ln(n+1)n^2+n, que cai no tópico de testes de convergência de séries e depois, em caso de convergência, estimação da soma.

Passo 2

Para verificar convergência, note que para n grande temos n^2+nsim n^2 e ln(n+1)sim ln n. Assim o termo geral se comporta como
ln(n+1)n^2+nsim ln nn^2
Como sabemos que a série sum ln nn^2 converge (por comparação com 1/n^3/2 ou por integral), conclui-se que a nossa série também converge.

Passo 3

Para tentar achar a soma, decompomos o denominador:
1n(n+1)=1n-1n+1
Então
ln(n+1)n(n+1)=ln(n+1)l(1n-1n+1r)
Isso nos permite escrever a soma parcial até N como
SN=sumn=1^Nln(n+1)n(n+1) =sumn=1^Nln(n+1)n -sumn=1^Nln(n+1)n+1
e em seguida reindexar o segundo somatório, mas não ocorre um telescópio simples que se feche em forma elementar.

Passo 4

Como não há cancelamento completo, estimamos a soma numericamente. Calculamos uma soma parcial razoavelmente grande (por exemplo até n=20) e corrigimos o restante da cauda por uma integral:
sumn=21^inftyln(n+1)n^2+napproxintegral20^inftyln xx^2,dx =ln(20)+120
Fazendo as contas, obtemos uma estimativa
Sapprox1.27

Passo 5

Portanto a série converge e, numericamente, sua soma é aproximadamente 1,27.

Resposta

A série converge e sua soma aproximada é 1,27.

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