Verifique se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma.
sumn=1^infty 1n(n^2+n)^3 / 2

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty 1nl(n^2+nr)^3/2. O conteúdo aqui é análise de séries de termos positivos: vamos precisar reconhecer o comportamento assintótico do termo geral e depois aproximar a soma numérica.

Passo 2

Para ver se converge, note que n^2+n=n^2(1+1/n), logo
(n^2+n)^3/2=l(n^2(1+1/n)r)^3/2=n^3,(1+1/n)^3/2sim n^3(ntoinfty)
Isso dá
1n,(n^2+n)^3/2sim1ncdot n^3=1n^4
Como sum 1/n^4 é uma série p com p=4>1, nossa série converge absolutamente por comparação.

Passo 3

Agora, para achar a soma aproximada, calculamos a soma parcial até algum N grande e estimamos o resto por integral:
SN=sumn=1^N1n(n^2+n)^3/2,
e o restante RN=sumn=N+1^inftyan pode ser estimado por
integralN^inftydxx(x^2+x)^3/2<= RN<=integralN-1^inftydxx(x^2+x)^3/2

Passo 4

Fazendo o cálculo numérico para N=8, encontramos
sumn=1^81n(n^2+n)^3/2approx0.4007,
e a integral do resto dá um erro menor que 0.0007.

Passo 5

Logo a soma converge para aproximadamente
0.4013

Resposta

A série converge (comparação com 1/n^4) e sua soma é aproximadamente 0.4013.

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