Determinar as descrições por equação diferencial para os sistemas que têm as seguintes respostas ao impulso.
H(j omega)=2+3 j omega-3(j omega)^21+2 j omega

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta em frequência
H(jomega)=2 + 3,jomega - 3,(jomega)^21 + 2,jomega
e pede a descrição por equação diferencial de um sistema LTI causal que tenha essa transferência. Vamos usar a propriedade de que, em sistemas LTI, basta substituir jomega por s para obter a função de transferência H(s) e depois passar ao domínio do tempo via operadores diferenciais.

Passo 2

Definimos
H(s)=Y(s)X(s)=2 + 3,s - 3,s^21 + 2,s
Multiplicando em cruz, obtemos
(1 + 2,s),Y(s) = l(2 + 3,s - 3,s^2r),X(s)

Passo 3

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace: no domínio s, cada s,Y(s) vira d y(t)/d t e cada s^2 X(s) vira d^2 x(t)/d t^2. Assim,
Y(s) ;longrightarrow; y(t), s,Y(s);longrightarrow;d y(t)d t,
s,X(s);longrightarrow;d x(t)d t, s^2X(s);longrightarrow;d^2 x(t)d t^2
Portanto a equação em t fica
y(t) + 2,d y(t)d t = 2,x(t) + 3,d x(t)d t - 3,d^2 x(t)d t^2

Passo 4

Podemos reorganizar para enfatizar a forma padrão de um ODE de primeira ordem em y:
y(t) + 2,y'(t) = 2,x(t) + 3,x'(t) - 3,x''(t)
Essa é a descrição por equação diferencial do sistema, assumindo condições iniciais nulas.

Resposta

boxedy(t) + 2,d y(t)d t = 2,x(t) + 3,d x(t)d t - 3,d^2 x(t)d t^2

Exercícios relacionados