Achar os limites das funções:
\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\\ y \rightarrow k}}\left(1+\frac{y}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{\substack{x\to \infty \\\ y\to k}}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo principal é limites envolvendo exponenciais, e vamos usar o fato de que, para u\to0,
\ln(1+u)\sim u
e que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr)^{n}=e^{a}.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como exponencial, usando logaritmo:
\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr)^{x} =\exp\!\Bigl(x\,\ln\bigl(1+\tfrac{y}{x}\bigr)\Bigr).

Passo 3

Analisamos o limite do expoente. Defina
E(x,y)=x\,\ln\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr).
Como x\to\infty e y\to k, temos \tfrac{y}{x}\to0 e, usando \ln(1+u)\sim u,
E(x,y) =x\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{\ln(1+y/x)}{\,y/x\,} =y\cdot\frac{\ln(1+y/x)}{\,y/x\,} \longrightarrow k\cdot1 =k.

Passo 4

Pela continuidade da função exponencial,
\exp\bigl(E(x,y)\bigr)\longrightarrow \exp(k).

Resposta

e^{k}.

Exercícios relacionados