Verificar se a função F(t)=\operatorname{sen} t \mathrm{i}+\cos t \mathrm{j}+\mathrm{k} é contínua em t_{0}=\pi.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial
F(t)=\operatorname{sen}t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
é contínua em t_{0}=\pi. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, que se reduz à continuidade de cada uma das componentes escalares ( \operatorname{sen}t, \cos t e a constante).

Passo 2

Uma função vetorial F(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)) é contínua em t_{0} se, e somente se, cada componente f_{i}(t) for contínua em t_{0}. Sabemos que sen e cos são funções contínuas em todo \mathbb{R} e que a função constante também é contínua.

Passo 3

Calculamos o valor de F em t_{0}=\pi.
F(\pi)=\operatorname{sen}\pi\,\mathbf{i}+\cos\pi\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
Como \operatorname{sen}\pi=0 e \cos\pi=-1, temos
F(\pi)=0\cdot\mathbf{i}+(-1)\cdot\mathbf{j}+\mathbf{k}=-\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Passo 4

Agora calculamos o limite de F(t) quando t\to\pi.
Como as componentes são contínuas,
\lim_{t\to\pi}\operatorname{sen}t=\operatorname{sen}\pi=0,
\lim_{t\to\pi}\cos t=\cos\pi=-1,
e a componente \mathbf{k} é constante, logo
\lim_{t\to\pi}F(t)=0\cdot\mathbf{i}+(-1)\cdot\mathbf{j}+\mathbf{k}=-\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Passo 5

Comparando o valor de F(\pi) e o limite quando t\to\pi vemos que
\lim_{t\to\pi}F(t)=F(\pi).
Pelo critério de continuidade, isso garante que F é contínua em t_{0}=\pi.

Resposta

A função F é contínua em t_{0}=\pi.

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