Classifique as equações diferenciais abaixo quanto ao tipo (EDO ou EDP), à ordem, à linearidade e se são homogêneas ou não:
y y^{\prime}+t=0

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a equação
y\,y' + t = 0
quanto a quatro coisas: se é EDO ou EDP, qual a ordem, se é linear ou não e se é homogênea ou não. Vamos lembrar cada definição:
  1. EDO versus EDP: depende do número de variáveis independentes.
  2. Ordem: é o maior número de derivada que aparece.
  3. Linearidade: uma EDO de ordem n é linear se for da forma a_n(t)y^{(n)} + a_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)y' + a_0(t)y = g(t).Caso contrário é não linear.
  4. Homogeneidade (aplicável a EDOs lineares): uma EDO linear é homogênea se na forma acima tivermos g(t)=0; caso contrário, é não homogênea.

Passo 2

A equação envolve apenas a função y(t), sua derivada em relação a t e a variável t. Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

O único derivado presente é y', isto é, a primeira derivada de y. Não aparece y'' nem derivadas de ordem maior, então a ordem da equação é 1.

Passo 4

Para testar a linearidade, tentamos escrever a equação no formato
a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t).
Aqui temos o termo y\,y', que é produto da função y pela sua derivada. Esse tipo de acoplamento faz dela uma equação não linear.

Passo 5

A classificação em homogênea ou não só se aplica diretamente a EDOs lineares. Como esta é não linear, não se fala em homogênea no sentido clássico de g(t)=0. Se, por analogia, quisermos dizer que há um termo livre em t, podemos chamar de “não homogênea”, mas o mais correto é observar que a noção de homogênea se restringe a casos lineares.

Resposta

A equação \;y\,y' + t = 0\; é
EDO, ordem 1, não linear e (no sentido de termo livre) não homogênea.

Exercícios relacionados