Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde {C1, C2} ∈ R são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
f) f(x) = C1 e^(3x) + C2 e^(-0,5x) => 2y'' - 5y' - 3y = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a função é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Isso envolve entender o que são soluções gerais de EDOs e como testar se uma função dada satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma solução geral de uma EDO linear com coeficientes constantes é uma combinação linear das soluções da equação característica associada. Para a EDO , vamos encontrar a equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo por . Assim, temos:
Isso porque:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Portanto, as soluções são:

Passo 5

As raízes e indicam que as soluções gerais da EDO são da forma:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Comparando com a função dada no enunciado , vemos que elas são exatamente iguais. Isso confirma que é, de fato, a solução geral da EDO apresentada.

Resposta

Sim, a função é uma solução geral da equação diferencial , pois satisfaz a equação característica associada.

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