Verificar se
é harmónica.
Passo 1
Tranquilo, vamos começar resumindo o enunciado. A questão pede para verificar se a função
é harmónica. Isso entra em Equações Diferenciais Parciais, mais precisamente no estudo de funções harmónicas. Para resolver a gente vai precisar lembrar o que é uma função harmónica (ou seja, a definição de Laplaciano) e calcular as segundas derivadas parciais
,
e
para ver se a soma dá zero.
Passo 2
Definição de harmónica:
Uma função é dita harmónica se satisfaz a equação de Laplace
Uma função
Então nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas e somar.
Passo 3
Cálculo de
:
- Primeiro achamos
- Depois derivamos de novo em
:
Passo 4
Cálculo de
:
1)
1)
Passo 5
Cálculo de
:
1)
1)
Passo 6
Agora formamos o Laplaciano somando tudo:
Resposta
Como
, a função
é harmónica.