Verificar se w=e^3 x+4 y cos 5 z e^- é harmónica.

Passo 1

Tranquilo, vamos começar resumindo o enunciado. A questão pede para verificar se a função
w(x,y,z)=e^3x+4y,cos(5z)
é harmónica. Isso entra em Equações Diferenciais Parciais, mais precisamente no estudo de funções harmónicas. Para resolver a gente vai precisar lembrar o que é uma função harmónica (ou seja, a definição de Laplaciano) e calcular as segundas derivadas parciais wxx, wyy e wzz para ver se a soma dá zero.

Passo 2

Definição de harmónica:
Uma função w(x,y,z) é dita harmónica se satisfaz a equação de Laplace
De<a w = wxx + wyy + wzz = 0
Então nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas e somar.

Passo 3

Cálculo de wxx:
  1. Primeiro achamos
wx = partialpartial xl(e^3x+4ycos(5z)r) =3,e^3x+4ycos(5z)
  1. Depois derivamos de novo em x:
wxx = partialpartial xl(3,e^3x+4ycos(5z)r) =3cdot 3,e^3x+4ycos(5z) =9,e^3x+4ycos(5z)

Passo 4

Cálculo de wyy:
1)
wy = partialpartial yl(e^3x+4ycos(5z)r) =4,e^3x+4ycos(5z)
wyy =partialpartial yl(4,e^3x+4ycos(5z)r) =4cdot4,e^3x+4ycos(5z) =16,e^3x+4ycos(5z)

Passo 5

Cálculo de wzz:
1)
wz = partialpartial zl(e^3x+4ycos(5z)r) =e^3x+4y,(-sin(5z))cdot5 =-5,e^3x+4ysin(5z)
wzz =partialpartial zl(-5,e^3x+4ysin(5z)r) =-5,e^3x+4ycdot(5cos(5z)) =-25,e^3x+4ycos(5z)

Passo 6

Agora formamos o Laplaciano somando tudo:
De<a w = wxx+wyy+wzz =9,e^3x+4ycos(5z) +16,e^3x+4ycos(5z) -25,e^3x+4ycos(5z) =0

Resposta

Como De<a w=0, a função w(x,y,z)=e^3x+4ycos(5z) é harmónica.

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