Verificar a identidade proposta para cada função dada:
(26.3) z=x ln (x^2+y^2)-2 y arctg(yx) ; x partial zpartial x+y partial zpartial y=z+2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função $ z = x \ln(x^{2} + y^{2}) - 2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $. A gente precisa verificar uma identidade que envolve as derivadas parciais dessa função. Basicamente, vamos calcular $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} $ e ver se isso é igual a $ z + 2x $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e propriedades de funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Vamos dar uma olhada na função:
z
Vamos derivar termo a termo em relação a $ x $.

Passo 3

Derivando o primeiro termo $ x \ln(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $:
Usamos a regra do produto: se $ u = x $ e $ v = \ln(x^{2} + y^{2}) $, então:
x ln(x^2 + y^2)
Calculando cada parte:
x
u = x
Portanto:
v = ln(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo $ -2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ em relação a $ x $:
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $. Então, usamos a regra da cadeia:
-2y arctan(yx)
Portanto:
x

Passo 5

Agora, juntando as duas derivadas parciais que calculamos:
partial zpartial x = ln(x^2 + y^2) + 2x^2x^2 + y^2 + 2y^2x^2 + y^2 = ln(x^2 + y^2) + 2(x^2 + y^2)x^2 + y^2 = ln(x^2 + y^2) + 2
Então:
partial zpartial x = ln(x^2 + y^2) + 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Derivando a função:
z

Passo 7

Derivando o primeiro termo $ x \ln(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante. Então:
x ln(x^2 + y^2)

Passo 8

Derivando o segundo termo $ -2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ em relação a $ y $:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
-2y arctan(yx)

Passo 9

Juntando as duas derivadas parciais:
partial zpartial y = 2xyx^2 + y^2 - 2 arctan(yx) - 2yx^2 + y^2 = 2xy - 2yx^2 + y^2 - 2 arctan(yx)
Simplificando o numerador:
2xy - 2y = 2y(x - 1)
Mas parece que pode ter um erro na simplificação. Vamos verificar novamente:
Na verdade, $ \frac{2xy}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2y}{x^{2} + y^{2}} = \frac{2y(x - 1)}{x^{2} + y^{2}} $, mas a expressão completa é:
2xyx^2 + y^2 - 2yx^2 + y^2 = 2y(x - 1)x^2 + y^2

Passo 10

Agora, vamos calcular $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} $:
Sabemos que:
x partial zpartial x + y partial zpartial y
partial zpartial x = ln(x^2 + y^2) + 2
Multiplicando por $ x $ e $ y $:
partial zpartial y = 2y(x - 1)x^2 + y^2 - 2 arctan(yx)
x

Passo 11

Agora, somando as duas expressões:
x partial zpartial x + y partial zpartial y = x ln(x^2 + y^2) + 2x + 2y^2(x - 1)x^2 + y^2 - 2y arctan(yx)
Vamos reorganizar os termos:
= x ln(x^2 + y^2) - 2y arctan(yx) + 2x + 2y^2(x - 1)x^2 + y^2

Passo 12

Observe que a expressão $ x \ln(x^{2} + y^{2}) - 2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ é exatamente a função $ z $. Então temos:
x ln(x^2 + y^2) - 2y arctan(yx)
Agora, analisando o termo adicional $ \frac{2y^{2}(x - 1)}{x^{2} + y^{2}} $, percebemos que para a identidade ser verdadeira, esse termo precisa se anular. Entretanto, sem restrições adicionais sobre $ x $ e $ y $, esse termo não se anula em geral. Então, parece que a identidade proposta não é válida para todos os valores de $ x $ e $ y $.

Resposta

Após os cálculos, concluímos que $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = z + 2x + \frac{2y^{2}(x - 1)}{x^{2} + y^{2}} $. Portanto, a identidade proposta $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = z + 2x $ não é válida para todos os valores de $ x $ e $ y $.

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