Verificar a identidade proposta para cada função dada:
(26.3)
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(26.3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função $ z = x \ln(x^{2} + y^{2}) - 2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $. A gente precisa verificar uma identidade que envolve as derivadas parciais dessa função. Basicamente, vamos calcular $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} $ e ver se isso é igual a $ z + 2x $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e propriedades de funções logarítmicas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Vamos dar uma olhada na função:
Vamos derivar termo a termo em relação a $ x $.
Passo 3
Derivando o primeiro termo $ x \ln(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $:
Usamos a regra do produto: se $ u = x $ e $ v = \ln(x^{2} + y^{2}) $, então:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar o segundo termo $ -2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ em relação a $ x $:
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante em relação a $ x $. Então, usamos a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 5
Agora, juntando as duas derivadas parciais que calculamos:
Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Derivando a função:
Passo 7
Derivando o primeiro termo $ x \ln(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante. Então:
Passo 8
Derivando o segundo termo $ -2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ em relação a $ y $:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 9
Juntando as duas derivadas parciais:
Simplificando o numerador:
Mas parece que pode ter um erro na simplificação. Vamos verificar novamente:
Na verdade, $ \frac{2xy}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2y}{x^{2} + y^{2}} = \frac{2y(x - 1)}{x^{2} + y^{2}} $, mas a expressão completa é:
Passo 10
Agora, vamos calcular $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} $:
Sabemos que:
Multiplicando por $ x $ e $ y $:
Passo 11
Agora, somando as duas expressões:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 12
Observe que a expressão $ x \ln(x^{2} + y^{2}) - 2y \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ é exatamente a função $ z $. Então temos:
Agora, analisando o termo adicional $ \frac{2y^{2}(x - 1)}{x^{2} + y^{2}} $, percebemos que para a identidade ser verdadeira, esse termo precisa se anular. Entretanto, sem restrições adicionais sobre $ x $ e $ y $, esse termo não se anula em geral. Então, parece que a identidade proposta não é válida para todos os valores de $ x $ e $ y $.
Resposta
Após os cálculos, concluímos que $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = z + 2x + \frac{2y^{2}(x - 1)}{x^{2} + y^{2}} $. Portanto, a identidade proposta $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = z + 2x $ não é válida para todos os valores de $ x $ e $ y $.