Como verificar se as integrais imediatas da tabela estão corretas? Mais geralmente, como testar se uma integral indefinida está correta?

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir como verificar se as integrais que a gente encontra na tabela estão corretas. Basicamente, estamos trabalhando com integrais indefinidas, que são funções primitivas de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas, já que elas são a ferramenta principal para essa verificação.

Passo 2

Primeiro, lembra que a integral indefinida de uma função $ f(x) $ é outra função $ F(x) $ tal que a derivada de $ F(x) $ seja $ f(x) $. Ou seja:
f(x)
Então, se a gente tem uma integral proposta na tabela, vamos chamar de $ F(x) $, e queremos ver se está correta.

Passo 3

O próximo passo é pegar a função $ F(x) $ que foi ofertada como integral de $ f(x) $ e derivá-la. Para fazer isso, aplicamos as regras de derivação que já conhecemos, como a da potência, produto, cadeia, etc.

Passo 4

Depois de derivar $ F(x) $, obtemos uma nova função, vamos chamar de $ F’(x) $. Aí, a gente compara $ F’(x) $ com a função original $ f(x) $. Se elas forem iguais, ou seja, se:
F(x)
então a integral $ F(x) $ está correta!

Passo 5

Se por acaso $ F’(x) $ não for igual a $ f(x) $, isso significa que a integral proposta está errada. Nesse caso, pode ser que tenha algum erro na formulação da integral ou que a tabela contenha uma expressão incorreta.

Resposta

Para verificar se uma integral indefinida está correta, derivamos a função proposta e confirmamos que a derivada resulta na função original. Se sim, a integral está correta!

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