7- Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P.
a) A=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]
b) A=\left[\begin{array}{ll}9 & 1 \\\\ 4 & 6\end{array}\right]
c) A=\left[\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
d) A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]
e) A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & -4 & 3\end{array}\right]
f) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para cada matriz A verificar se ela é diagonalizável. Para isso precisamos: 1. Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e achar os autovalores \lambda. 2. Para cada autovalor, calcular o autovetor resolvendo (A-\lambda I)x=0 e verificar a dimensão do autoespaço. 3. Se a soma das dimensões dos autoespaços for igual à ordem de A, então A é diagonalizável e podemos montar P com colunas sendo autovetores e obter
D = P^{-1} A P
onde D é diagonal contendo os autovalores.
Passo 2
a) A=\begin{pmatrix}2 & 4\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
raízes \lambda_1=10, \lambda_2=5.
Para \lambda_1=10: (9-10)x + y =0 \Rightarrow y=x. Tomamos v_1=(1,1)^T.
Para \lambda_2=5: (9-5)x + y =0 \Rightarrow y=-4x. Tomamos v_2=(1,-4)^T.
São dois vetores independentes, então
Cada um fornece um autovetor independentemente, logo A é diagonalizável.
Autovetores (um esquemático): \lambda_1=1 \Rightarrow v_1=(0,1,-2)^T. \lambda_{2,3}\Rightarrow tomando z=2,
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr], \quad D = \operatorname{diag}\!\bigl(1,\tfrac{5+\sqrt{17}}2,\tfrac{5-\sqrt{17}}2\bigr).
Passo 6
e) A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\ -2 & 3 & -1\\\ 0 & -4 & 3\end{pmatrix}.
Os autovalores são 1 (mult.1) e 3 (mult.2).
Para \lambda=3 o autoespaço satisfaz (A-3I)x=0 leva apenas à solução trivial, ou seja, dimensão do autoespaço <2.
Logo não é diagonalizável.
Passo 7
f) A=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\\ 0 & 1 & -4\\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
É triangular superior com autovalores distintos 2,1,3. Logo diagonalizável.
Autovetores: \lambda=2 \Rightarrow v_1=(1,0,0)^T, \lambda=1 \Rightarrow v_2=(-3,1,0)^T, \lambda=3 \Rightarrow v_3=(-7,-2,1)^T.