16- Se A=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]
a) Encontre os valores e vetores próprios de A;
b) Encontre a matriz P tal que P^{-1} A P seja uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede (a) os valores próprios \lambda e vetores próprios correspondentes, e (b) uma matriz P que diagonaliza A via P^{-1}AP. Vamos usar as definições de polinômio característico e resolver (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda linha, obtemos
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(\lambda^2 - 1).
Logo
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1) = -( \lambda-1)^2(\lambda+1).

Passo 3

Das raízes do polinômio característico obtemos os valores próprios
\lambda = 1\quad(\text{multiplicidade }2), \qquad \lambda = -1\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos
(A - I)x = \begin{pmatrix}-1&0&1\\\ 0&0&0\\\ 1&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = x_3,\;x_2\;\text{livre}.
Dessa forma, um espaço próprio de dimensão 2 é gerado por
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=-1 resolvemos
(A + I)x = \begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&2&0\\\ 1&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = -x_3,\;x_2=0.
Assim, um vetor próprio é
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Agora escolhemos como colunas de P os vetores próprios v_1,v_2,v_3. Então
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e pelo fato de termos montado colunas independentes em ordem dos valores próprios (1,1,-1), garante-se
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

a) Os valores próprios são \lambda=1 (multiplicidade 2) com base de autovetores \{(1,0,1)^\mathsf{T},(0,1,0)^\mathsf{T}\}, e \lambda=-1 com vetor próprio (-1,0,1)^\mathsf{T}.
b) Uma escolha é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,1,-1).

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