Verificar que não são subespaços vetoriais do R^2 : Em cada caso quais axiomas não se verificam?
(x, y) in R^2 mid x^3+y^3=0

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid x^3 + y^3 = 0
e verificar se ele falha em algum dos axiomas de subespaço vetorial de R^2. Para isso vamos usar o teste de subespaço:
  1. 0in S.
  2. u,vin Simplies u+vin S.
  3. uin S,;alphainRimplies alpha uin S.

Passo 2

Fatoramos a equação
x^3+y^3=(x+y)(x^2 - x y + y^2)=0
Em R, o polinômio x^2 - xy + y^2 só zera se x=y=0. Logo as soluções de x^3+y^3=0 são ou x+y=0, ou o caso trivial (x,y)=(0,0), já contido em x+y=0.

Passo 3

Concluímos que
S = (x,y)inR^2 mid x+y=0 = (t,-t)mid tinR,
que é exatamente a reta que passa pela origem com vetor diretor (1,-1).

Passo 4

Agora conferimos os axiomas de subespaço:
  1. Zero: (0,0) satisfaz 0+0=0, logo (0,0)in S.
  2. Soma: Se (t,-t) e (t',-t') estão em S, então
(t,-t)+(t',-t')=(t+t',,-(t+t'))in S
  1. Multiplicação por escalar: Para alphainR,
alpha,(t,-t)=(alpha t,,-alpha t)in S
Todos os três critérios se verificam.

Resposta

O conjunto S é subespaço vetorial de R^2. Logo nenhum dos axiomas falha.

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