Verificar que não são subespaços vetoriais do R^2 : Em cada caso quais axiomas não se verificam?
(x, y) in R^2 mid x=1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a reta
S = (x,y)inR^2 mid x=1
não é subespaço vetorial de R^2. Lembrando que, para ser subespaço, um subconjunto WsubseteqR^2 deve satisfazer, no mínimo, três condições fundamentais:
  1. 0=(0,0)in W.
  2. Para todo u,vin W, u+vin W (fechamento sob adição).
  3. Para todo alphainR e uin W, alpha uin W (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo pertence a S. O vetor nulo em R^2 é 0=(0,0). Como em S todo ponto tem primeira coordenada igual a 1, temos
(0,0)notin S
pois o x-de (0,0) é 0neq1. Logo, já falha o axioma da existência do vetor zero em S.

Passo 3

Testamos o fechamento sob adição. Se (1,y1) e (1,y2) estão em S, então
(1,y1)+(1,y2) = (1+1,;y1+y2) = (2,;y1+y2)
Mas (2,y1+y2)notin S pois a primeira coordenada é 2neq1. Logo, falha também o fechamento sob adição.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e (1,y)in S. Então
alpha,(1,y) = (alphacdot1,;alpha,y) = (alpha,;alpha y)
Para alphaneq1 temos (alpha,alpha y)notin S (a menos que alpha=1). Portanto falha o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S=(x,y)mid x=1 não é subespaço vetorial de R^2 porque não contém o vetor zero e não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação escalar.

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