Verificar que não são subespaços vetoriais do
: Em cada caso quais axiomas não se verificam?
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a reta
não é subespaço vetorial de
. Lembrando que, para ser subespaço, um subconjunto
deve satisfazer, no mínimo, três condições fundamentais:
-
. - Para todo
, (fechamento sob adição). - Para todo
e , (fechamento sob multiplicação escalar).
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo pertence a
. O vetor nulo em
é
. Como em
todo ponto tem primeira coordenada igual a
, temos
pois o
-de
é
. Logo, já falha o axioma da existência do vetor zero em
.
Passo 3
Testamos o fechamento sob adição. Se
e
estão em
, então
Mas
pois a primeira coordenada é
. Logo, falha também o fechamento sob adição.
Passo 4
Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Para
temos
(a menos que
). Portanto falha o fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto
não é subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero e não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação escalar.