Verificar se as seguintes matrizes: \quad \mathbf{E}_{1}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{1} & \mathbf{2} \\\\ -\mathbf{1} & \mathbf{3}\end{array}\right) ; \quad \mathbf{E}_{2}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{0} & \mathbf{1} \\\ \mathbf{2} & \mathbf{4}\end{array}\right);
\mathrm{E}_{3}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{4} & -\mathbf{2} \\\ \mathbf{0} & -\mathbf{2}\end{array}\right) geram o espaço vetorial \boldsymbol{M}_{\mathbf{2} \boldsymbol{\times} \mathbf{2}}.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3 e pede para verificar se elas geram o espaço vetorial \boldsymbol{M}_{2\times2}. As matrizes fornecidas são:
\mathbf{E}_{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{E}_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{E}_{3}=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
A pergunta é: as combinações lineares de \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3 produzem toda matriz 2\times2? Em outras palavras, dado um \mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} arbitrário, existem escalares x,y,z tais que
x\mathbf{E}_1 + y\mathbf{E}_2 + z\mathbf{E}_3 = \mathbf{A}\,?]

Passo 2

O que significa “gerar” \boldsymbol{M}_{2\times2}? Significa que o conjunto
\operatorname{span}\{\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3\}
é igual a todo \boldsymbol{M}_{2\times2}: todo 2\times2 pode ser escrito como combinação linear x\mathbf{E}_1+y\mathbf{E}_2+z\mathbf{E}_3 para alguns escalares x,y,z. Vou explicar duas vias para responder: (i) argumento de dimensão (muito direto) e (ii) computação explícita que mostra que nem toda matriz pode ser escrita como combinação linear.

Passo 3

Primeira observação importante: o espaço \boldsymbol{M}_{2\times2} (matrizes 2\times2 com entradas em \mathbb{R}, supondo o corpo \mathbb{R}) tem dimensão 4. Uma base canônica é
\mathbf{B}_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}_4=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
que são claramente linearmente independentes e geram todo \boldsymbol{M}_{2\times2}. Portanto \dim(\boldsymbol{M}_{2\times2})=4.]

Passo 4

Teorema básico (explicado de modo simples): num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores que gera o espaço deve ter pelo menos n vetores. Intuição: uma base tem exatamente n vetores; se um conjunto gerador tivesse menos de n vetores não haveria “graus de liberdade” suficientes para alcançar todas as direções do espaço. Assim, para gerar um espaço de dimensão 4 é necessário ter pelo menos 4 vetores. Aqui temos apenas 3 matrizes (\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3), logo, por este argumento, impossibilitam gerar todo \boldsymbol{M}_{2\times2}. Conclusão imediata: elas não geram o espaço inteiro.

Passo 5

Para ficar bem concreto (e mostrar como proceder numa prova se pedirem um exemplo), vamos tentar escrever uma matriz arbitrária \mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}\) como combinação linear \[x\mathbf{E}_1 + y\mathbf{E}_2 + z\mathbf{E}_3 = \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}.
Escrevendo entradas, obtemos o sistema de equações em x,y,z:
\begin{cases} x + 4z = a,\\[4pt] 2x + y -2z = b,\\[4pt] - x + 2y = c,\\[4pt] 3x + 4y -2z = d. \end{cases}
São 4\] equações para \(3 incógnitas; em geral isso dá uma restrição entre a,b,c,d. Resolvendo as três primeiras equações para x,y,z em função de a,b,c (eliminação direta) encontramos:
z=\dfrac{5a + c - 2b}{24},\qquad x=\dfrac{a - c + 2b}{6},\qquad y=\dfrac{a + 5c + 2b}{12}.
Para que esses x,y,z realmente representem uma solução válida para a matriz \mathbf{A}, a quarta equação deve ser satisfeita; substituindo x,y,z na quarta equação obtemos a condição necessária e suficiente
d = \dfrac{5a + 22b + 13c}{12}.
Ou seja: apenas as matrizes \mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} cujas entradas satisfazem essa relação podem ser escritas como combinação linear de \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3. Isso mostra explicitamente que o conjunto gerado pelas três matrizes é um subespaço próprio (de dimensão \le 3) de \boldsymbol{M}_{2\times2}.]

Passo 6

Exemplo concreto de matriz que NÃO está no span: escolha \mathbf{I}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Aqui a=1,b=0,c=0. Pela condição do passo anterior, para que \mathbf{I} estivesse no span seria necessário
d=\dfrac{5a + 22b + 13c}{12} = \dfrac{5\cdot1 + 22\cdot0 + 13\cdot0}{12} = \dfrac{5}{12},
mas na identidade temos d=1, logo a condição não se satisfaz. Conclusão direta e explícita: a identidade \mathbf{I} não pode ser escrita como combinação linear de \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3. Isso confirma, de maneira construtiva, que as três matrizes não geram \boldsymbol{M}_{2\times2}.]

Resposta

Não: as matrizes \mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3 não geram \boldsymbol{M}_{2\times2}.

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