Verificar que o ponto

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfrac2,y^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se (0,0) é ponto crítico, ou seja, se as derivadas parciais em (0,0) são nulas. Lembrando que
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h, fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
]

Passo 2

Calcular fx(0,0). Para y=0 e xneq0 temos
f(h,0)=2cdot0^3h^2+0^2=0,
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fx(0,0) =limhto0f(h,0)-0h =limhto00h =0

Passo 3

Calcular fy(0,0). Para x=0 e yneq0 temos
f(0,k)=2,k^30+k^2=;2,k,
portanto
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto02,kk =2

Passo 4

Concluímos que
nabla f(0,0)=(fx(0,0),,fy(0,0))=(0,2)neq(0,0)
Como o gradiente em (0,0) não é o vetor nulo, (0,0) não é ponto crítico.

Resposta

(0,0) não é ponto crítico de f.

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