Questão 7. Faça v=t y e resolva: t y^prime=e^-t y-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
t,y' = e^-t y - y
fazendo a troca de variável
v = t,y
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem, separável após a substituição. Vamos calcular y' em função de v e t e reescrever a EDO em termos de v.

Passo 2

Como v = t,y, temos
y = vt
Derivando ambos os lados em relação a t,
y' = ddt!l(vtr) = v't - vt^2
Multiplicando por t,
t,y' = v' - vt

Passo 3

Substituindo t,y' e y=v/t na equação original,
v' - vt = e^-v - vt
Os termos -v/t cancelam em ambos os lados, sobrando
v' = e^-v
Isso é uma EDO separável:
dvdt = e^-v Longrightarrow e^v,dv = dt

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral e^v,dv = integral dt Longrightarrow e^v = t + C,
onde C é constante de integração. Tomando logaritmo,
v = lnl(t + Cr)

Passo 5

Voltando à variável original y=v/t,
y(t) = vt = 1t,lnl(t + Cr)

Resposta

boxedy(t) = 1t,lnl(t + Cr),
onde C é constante de integração.

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