Verificar se os pontos A(1, 2, 4) , B(-1, 0, -2), C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) são coplanares.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Precisamos descobrir se os quatro pontos A(1, 2, 4), B(-1, 0, -2), C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) estão todos no mesmo plano, ou seja, se eles são coplanares. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, especificamente calculando o determinante de uma matriz formada pelos vetores que conectam esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto de referência. Vou usar o ponto A. Agora, calculamos os vetores que vão de A para os outros pontos: AB, AC e AD.
AB = B - A = (-1 - 1, 0 - 2, -2 - 4) = (-2, -2, -6)
AC = C - A = (0 - 1, 2 - 2, 2 - 4) = (-1, 0, -2)
AD = D - A = (-2 - 1, 1 - 2, -3 - 4) = (-3, -1, -7)

Passo 3

Agora, montamos uma matriz com esses vetores. A ideia é que, se o determinante dessa matriz for zero, significa que os vetores estão no mesmo plano, ou seja, os pontos são coplanares.
-2 & -1 & -3 -2 & 0 & -1 -6 & -2 & -7

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Existem várias maneiras de fazer isso, mas aqui vou usar a regra de expansão por menores:
Det = -2 cdot (0 cdot (-7) - (-1) cdot (-2)) - (-1) cdot (-2 cdot (-7) - (-1) cdot (-6)) + (-3) cdot (-2 cdot (-2) - 0 cdot (-6))
= -2 cdot (0 - 2) - (-1) cdot (14 - 6) + (-3) cdot (4 - 0)
= -2 cdot (-2) + 1 cdot 8 + (-3) cdot 4
= 4 + 8 - 12 = 0

Resposta

Como o determinante da matriz deu zero, concluímos que os pontos A, B, C e D são coplanares.

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