Sabe-se que
é uma família a dois parâmetros de soluções de
.
(a) Mostre que não existem constantes
e
para que um membro da família satisfaça as condições
. Explique porque isso não constitui uma violação do Teorema da Existência e Unicidade para um PVI linear.
(b) Encontre dois membros da família que satisfazem
.
(a) Mostre que não existem constantes
(b) Encontre dois membros da família que satisfazem
Passo 1
Dados e o que se pede (em linguagem bem clara, sem resolver ainda):
- É dada a família a dois parâmetros
com
constantes reais.
- A equação diferencial associada (no enunciado) é
-
Perguntas:
(a) Mostrar que não existem constantese tais que um membro da família satisfaça as condições iniciais Explicar por que isso não constitui violação do Teorema da Existência e Unicidade para um PVI linear.(b) Encontrar dois membros distintos da família que satisfaçam
Observações úteis que já podemos anotar para usar depois (sem resolver ainda): para a família dada teremos expressões simples para
e
que serão usadas para comparar com as condições iniciais.
Passo 2
Calcular
e
,
para a família; aqui explico cada passo como se estivéssemos juntos na prova.
- Derivada: a regra básica é que a derivada de
em relação a é . Aplicando isso a obtemos
Expliquei:
é constante, então sua derivada é zero;
é constante multiplicando
, então sai como fator e a derivada de
é
.
- Avaliando em
:
Conclusão imediata: para toda escolha de
a derivada no ponto
vale sempre
.
Passo 3
Responder a parte (a) explicitamente com base no passo anterior e explicar didaticamente o porquê do Teorema não ser violado.
-
Por que não existem
com e :
das fórmulas do passo anterior temospara toda função da família; portanto é impossível ter . Mesmo que escolhamos para tentar satisfazer , a segunda condição falha porque . Logo não existem constantes que façam o membro da família satisfazer ambas as condições. -
Por que isso não viola o Teorema da Existência e Unicidade (forma típica para EDO linear de 2ª ordem):
Vou escrever o enunciado útil do teorema (versão comum): se uma EDO linear de segunda ordem tem a formae as funçõessão contínuas em um intervalo que contém e, além disso, , então para quaisquer dados iniciais , existe uma única solução definida em algum intervalo contendo . No nosso caso, a EDO pode ser escrita com, , , . Note que . Portanto a hipótese crucial do teorema falha no ponto . Isso significa que o teorema não garante existência nem unicidade quando se impõe condições iniciais em ; a conclusão do teorema simplesmente não se aplica aqui. Assim, o fato de não existir membro da família com não contradiz o teorema — o teorema não era aplicável porque o coeficiente do maior termo derivativo se anula no ponto inicial. Comentário adicional (didático e prático): quandodizemos que o ponto é singular (para a equação no formato padrão), e nesses pontos os comportamentos possíveis incluem: não existir solução para certos dados iniciais, existir muitas soluções (não unicidade) para outros dados, ou soluções com comportamentos singulares. Tudo isso é compatível com a falta de hipóteses do teorema padrão.
Passo 4
Resolver a parte (b): encontrar dois membros da família que satisfaçam
e
. Vou mostrar passo a passo como escolher as constantes.
-
Das fórmulas obtidas:Para satisfazer
precisamos tomar . A condição já é automaticamente satisfeita por qualquer . Portanto existe uma infinidade de membros da família que cumprem essas duas condições; basta escolher e qualquer . -
Dois membros explícitos (escolhas simples):
- Tomando
e obtemos
Verificação rápida:e . - Tomando
e obtemos
Verificação rápida:e . - Tomando
Esses dois são membros distintos da família que satisfazem as condições pedidas; e, como observado, qualquer
com
arbitrário também serve.
Resposta
(a) Não existem constantes
porque para toda função da família temos
, logo não pode ocorrer
. Isso não viola o Teorema da Existência e Unicidade porque o coeficiente
do termo
satisfaz
, ou seja, a hipótese
do teorema não é satisfeita em
.
(b) Dois exemplos:
(isto é,
) e
(isto é,
).