Sabe-se que y=C_{1}+C_{2} x^{2}, x \in \mathbb{R} é uma família a dois parâmetros de soluções de x^{2} y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0.
(a) Mostre que não existem constantes C_{1} e C_{2} para que um membro da família satisfaça as condições y(0)=0, y^{\prime}(0)=1. Explique porque isso não constitui uma violação do Teorema da Existência e Unicidade para um PVI linear.
(b) Encontre dois membros da família que satisfazem y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

Dados e o que se pede (em linguagem bem clara, sem resolver ainda):
  • É dada a família a dois parâmetros
y(x)=C_{1}+C_{2}x^{2},\qquad x\in\mathbb{R},
com C_{1},C_{2} constantes reais.
  • A equação diferencial associada (no enunciado) é
x^{2}y''-y'=0.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que não existem constantes C_{1} e C_{2} tais que um membro da família satisfaça as condições iniciais
    y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
    Explicar por que isso não constitui violação do Teorema da Existência e Unicidade para um PVI linear.
    (b) Encontrar dois membros distintos da família que satisfaçam
    y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Observações úteis que já podemos anotar para usar depois (sem resolver ainda): para a família dada teremos expressões simples para y(0) e y'(0) que serão usadas para comparar com as condições iniciais.

Passo 2

Calcular y' e y(0), y'(0) para a família; aqui explico cada passo como se estivéssemos juntos na prova.
  • Derivada: a regra básica é que a derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Aplicando isso a y(x)=C_{1}+C_{2}x^{2} obtemos
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(C_{1}+C_{2}x^{2}\big)=0 + C_{2}\cdot 2x = 2C_{2}x.
Expliquei: C_{1} é constante, então sua derivada é zero; C_{2} é constante multiplicando x^{2}, então sai como fator e a derivada de x^{2} é 2x.
  • Avaliando em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}\cdot 0^{2}=C_{1},
y'(0)=2C_{2}\cdot 0 = 0.
Conclusão imediata: para toda escolha de C_{1},C_{2} a derivada no ponto 0 vale sempre 0.

Passo 3

Responder a parte (a) explicitamente com base no passo anterior e explicar didaticamente o porquê do Teorema não ser violado.
  • Por que não existem C_{1},C_{2} com y(0)=0 e y'(0)=1:
    das fórmulas do passo anterior temos y'(0)=0 para toda função da família; portanto é impossível ter y'(0)=1. Mesmo que escolhamos C_{1}=0 para tentar satisfazer y(0)=0, a segunda condição y'(0)=1 falha porque 0\neq 1. Logo não existem constantes que façam o membro da família satisfazer ambas as condições.
  • Por que isso não viola o Teorema da Existência e Unicidade (forma típica para EDO linear de 2ª ordem):
    Vou escrever o enunciado útil do teorema (versão comum): se uma EDO linear de segunda ordem tem a forma
    a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=f(x),
    e as funções a,b,c,f são contínuas em um intervalo que contém x_{0} e, além disso, a(x_{0})\neq 0, então para quaisquer dados iniciais y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0})=y_{0}' existe uma única solução definida em algum intervalo contendo x_{0}.
    No nosso caso, a EDO pode ser escrita com a(x)=x^{2}, b(x)= -1, c(x)=0, f(x)=0. Note que a(0)=0. Portanto a hipótese crucial a(x_{0})\neq 0 do teorema falha no ponto x_{0}=0. Isso significa que o teorema não garante existência nem unicidade quando se impõe condições iniciais em x=0; a conclusão do teorema simplesmente não se aplica aqui. Assim, o fato de não existir membro da família com y'(0)=1 não contradiz o teorema — o teorema não era aplicável porque o coeficiente do maior termo derivativo se anula no ponto inicial.
    Comentário adicional (didático e prático): quando a(x_{0})=0 dizemos que o ponto é singular (para a equação no formato padrão), e nesses pontos os comportamentos possíveis incluem: não existir solução para certos dados iniciais, existir muitas soluções (não unicidade) para outros dados, ou soluções com comportamentos singulares. Tudo isso é compatível com a falta de hipóteses do teorema padrão.

Passo 4

Resolver a parte (b): encontrar dois membros da família que satisfaçam y(0)=0 e y'(0)=0. Vou mostrar passo a passo como escolher as constantes.
  • Das fórmulas obtidas:
    y(0)=C_{1},\qquad y'(0)=0 \text{ (para todo \(C_{2}\))}.
    Para satisfazer y(0)=0 precisamos tomar C_{1}=0. A condição y'(0)=0 já é automaticamente satisfeita por qualquer C_{2}. Portanto existe uma infinidade de membros da família que cumprem essas duas condições; basta escolher C_{1}=0 e qualquer C_{2}.
  • Dois membros explícitos (escolhas simples):
    1. Tomando C_{1}=0 e C_{2}=0 obtemos
    y(x)=0.
    Verificação rápida: y(0)=0 e y'(x)=0\Rightarrow y'(0)=0.
    1. Tomando C_{1}=0 e C_{2}=1 obtemos
    y(x)=x^{2}.
    Verificação rápida: y(0)=0 e y'(x)=2x\Rightarrow y'(0)=0.
Esses dois são membros distintos da família que satisfazem as condições pedidas; e, como observado, qualquer y(x)=0 + C_{2}x^{2} com C_{2} arbitrário também serve.

Resposta

(a) Não existem constantes C_{1},C_{2} porque para toda função da família temos y'(0)=0, logo não pode ocorrer y'(0)=1. Isso não viola o Teorema da Existência e Unicidade porque o coeficiente a(x)=x^{2} do termo y'' satisfaz a(0)=0, ou seja, a hipótese a(x_{0})\neq 0 do teorema não é satisfeita em x_{0}=0.
(b) Dois exemplos: y(x)=0 (isto é, C_{1}=0,C_{2}=0) e y(x)=x^{2} (isto é, C_{1}=0,C_{2}=1).

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