Verificar a regra da cadeia
d hd t=partial fpartial x cdot d xd t+partial fpartial y cdot d yd t
para as funções:
b) f(x, y)=sen(2 x+5 y)
x=cos t
y=sen t.

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos a regra da cadeia para a função composta
h(t)=fl(x(t),y(t)r)
onde f(x,y)=sin(2x+5y), x(t)=cos t e y(t)=sin t. Vamos usar derivadas parciais de f e derivadas de x e y em função de t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Defina u=2x+5y, então f(x,y)=sin(u). Logo, por cadeia interna,
partial fpartial x =cos(u),partial upartial x =cos(2x+5y)cdot2 =2cos(2x+5y),
partial fpartial y =cos(u),partial upartial y =cos(2x+5y)cdot5 =5cos(2x+5y)

Passo 3

Agora derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt=ddt(cos t)=-sin t, dydt=ddt(sin t)=cos t

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dhdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
dhdt =2cos(2x+5y),(-sin t) +5cos(2x+5y),(cos t)

Passo 5

Fatorando cos(2x+5y) e substituindo x=cos t, y=sin t em 2x+5y:
dhdt =cosl(2cos t+5sin tr),l(-2sin t+5cos tr) =cosl(2cos t+5sin tr),(5cos t-2sin t)

Resposta

dhdt =cosl(2cos t+5sin tr),l(5cos t-2sin tr)

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