Verificar o que representa cada equação abaixo:
x^2+3 y^2-5 x-7 y-1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segundo grau em x e y:
x^2 + 3y^2 - 5x - 7y - 1 = 0
O conteúdo é classificação de cônicas por meio de conclusão de quadrados para colocá-la na forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y para completar quadrados:
x^2 - 5x = (x - tfrac52)^2 - tfrac254,
3y^2 - 7y = 3l(y - tfrac76r)^2 - 3cdottfrac4936 = 3l(y - tfrac76r)^2 - tfrac4912

Passo 3

Substituindo na equação original temos
(x - tfrac52)^2 - tfrac254 + 3l(y - tfrac76r)^2 - tfrac4912 - 1 = 0
Somando as constantes:
- tfrac254 - tfrac4912 - 1 = -tfrac7512 - tfrac4912 - tfrac1212 = -tfrac13612 = -tfrac343
Logo
(x - tfrac52)^2 + 3(y - tfrac76)^2 = tfrac343

Passo 4

Dividindo ambos os lados por tfrac343 obtemos a forma canônica
(x - tfrac52)^2tfrac343 ;+; 3(y - tfrac76)^2tfrac343 =1 Long<=ftrightarrow (x - tfrac52)^2tfrac343 ;+; (y - tfrac76)^2tfrac349 =1
Como ambas as frações são positivas, trata-se de uma elipse.

Passo 5

Da forma
(x - x0)^2a^2 + (y - y0)^2b^2 =1
reconhecemos que
(x0,y0)=(tfrac52,tfrac76), a^2=tfrac343, b^2=tfrac349
Portanto, a cônica é uma elipse centrada em l(tfrac52,tfrac76r) com semi-eixo maior a=raiztfrac343 e semi-eixo menor b=raiztfrac349=tfracraiz343.

Resposta

A equação representa uma elipse centrada em l(tfrac52,tfrac76r) com semi-eixos a=raiztfrac343 e b=tfracraiz343.

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