Verificar o que representa cada equação abaixo:
4 y^2+24 x-20 y+16=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação em x e y
4y^2 + 24x - 20y + 16 = 0
e pede para verificar que tipo de cônica ela representa. O conteúdo usado será a classificação de cônicas pela forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
e, em seguida, o isolamento de x e o completamento de quadrado para colocar a equação na forma padrão.

Passo 2

Na forma geral temos
A = 0, B = 0, C = 4
Como Acdot C = 0 (e não há termo xy), isso indica que a cônica é uma parábola.

Passo 3

Vamos completar o quadrado em y:
4y^2 - 20y + 24x + 16 = 0
4l(y^2 - 5yr) + 24x + 16 = 0
4l[(y - 2,5)^2 - (2,5)^2r] + 24x + 16 = 0
4(y - 2,5)^2 - 4cdot 6,25 + 24x + 16 = 0
4(y - 2,5)^2 + 24x - 25 + 16 = 0
4(y - 2,5)^2 + 24x - 9 = 0
Isolando x:
24x = -4(y - 2,5)^2 + 9 Longrightarrow x = -tfrac16,(y - 2,5)^2 + tfrac38

Passo 4

Escrevendo na forma padrão de parábola horizontal,
(y - k)^2 = 4p,(x - h),
comparamos
x - tfrac38 = -tfrac16,(y - 2,5)^2 Longrightarrow (y - 2,5)^2 = -6l(x - tfrac38r)
Logo 4p = -6, ou seja p = -tfrac32.
Isto confirma que a parábola tem vértice em
(h,k) = l(tfrac38,,2,5r),
abre para a esquerda (pois p<0) e seu eixo é a reta
y = 2,5

Passo 5

Com p = -tfrac32 e vértice l(tfrac38,2,5r):
– Foco:
l(h+p,;kr) = l(tfrac38-tfrac32,;2,5r) = l(-tfrac98,;2,5r)
– Diretriz:
x = h - p = tfrac38 + tfrac32 = tfrac158

Resposta

A equação
4y^2 + 24x - 20y + 16 = 0
representa uma parábola com vértice em l(tfrac38,2,5r), foco em l(-tfrac98,2,5r), diretriz x = tfrac158 e eixo paralelo ao eixo x.

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