Verificar o que representa cada equação abaixo:
4 x^2+16 y^2-24 x-32 y-12=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^2+16y^2-24x-32y-12=0
e pede para identificar que tipo de seção cônica ela representa. Vamos usar o método de completar quadrados para classificar a cônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e colocamos os coeficientes junto:
4l(x^2-6xr)+16l(y^2-2yr)-12=0

Passo 3

Para completar quadrados dentro de cada parêntese, lembramos que
x^2-6x = l(x-3r)^2-9,
y^2-2y = l(y-1r)^2-1
Substituindo na equação original:
4l[(x-3)^2-9r]+16l[(y-1)^2-1r]-12=0

Passo 4

Distribuímos e somamos constantes:
4(x-3)^2-36 +16(y-1)^2-16 -12=0
4(x-3)^2+16(y-1)^2 -64=0
4(x-3)^2+16(y-1)^2=64
Dividindo tudo por 64:
(x-3)^216+(y-1)^24=1

Passo 5

A forma obtida
(x-3)^24^2+(y-1)^22^2=1
é a equação canônica de uma elipse com centro em (3,1), semi-eixo maior a=4 ao longo de x e semi-eixo menor b=2 ao longo de y.

Resposta

A equação representa uma elipse centrada em (3,1), com semi-eixos a=4 (direção x) e b=2 (direção y).

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