Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas
r1: y = 2x - 3, z = -x - 10 e r2: y = 3x + 7, z = x + 1
são concorrentes (isto é, se têm algum ponto em comum) e, em caso positivo, encontrar esse ponto. Cada reta está dada de forma implícita, tomando x como parâmetro. Para decidir se se intersectam, basta igualar as coordenadas (x,y,z) e ver se existe valor de x que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Para que um ponto pertença simultaneamente a r1 e a r2, devemos ter um mesmo valor de x de modo que
(y,z) em r1 = (y,z) em r2
Ou seja, se chamarmos esse valor de x, precisamos satisfazer
2x - 3 = 3x + 7 e -,x - 10 = x + 1

Passo 3

Resolvendo a primeira equação
2x - 3 = 3x + 7
isolamos x:
2x - 3x = 7 + 3 Rightarrow -,x = 10 Rightarrow x = -10

Passo 4

Substituindo x = -10 na segunda equação
-,x - 10 = x + 1
temos
-(-10) - 10 = -10 + 1 Rightarrow 10 - 10 = -9 Rightarrow 0 = -9,
que é impossível. Logo não há valor de x que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Resposta

As retas não são concorrentes (não se intersectam).

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