Seja . Encontre a inversa de A e escreva A como um produto de matrizes elementares.
15. Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear A X=0 possui mais de uma solução então A X=B possui pelo menos uma solução.
(b) Se X1 é uma solução de A X=0 e Y1 é uma solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.
(c) Se A é matriz 4 times 7, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se An times n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bn times n
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= 2 & 1 & -1 1 & 1 & 0 2 & 3 & -1
e pede (i) A^-1 e a expressão de A como produto de matrizes elementares, e (ii) verificar se as afirmações (a)–(d) são verdadeiras ou falsas.
Para (i) vamos usar eliminação de Gauss–Jordan em [Amid I], registrar cada operação por uma matriz elementar Ei de modo que Ekcdots E1A=I; daí A^-1=Ekcdots E1 e A=(Ekcdots E1)^-1=!E1^-1cdots Ek^-1.
Passo 2
Montamos a matriz aumentada e trocamos R1rightarrow R2 para ter pivô 1: