Seja A=(ccc2 & 1 & -1 1 & 1 & 0 2 & 3 & -1). Encontre a inversa de A e escreva A como um produto de matrizes elementares.
15. Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear A X=0 possui mais de uma solução então A X=B possui pelo menos uma solução.
(b) Se X1 é uma solução de A X=0 e Y1 é uma solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.
(c) Se A é matriz 4 times 7, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se An times n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bn times n

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 2 & 1 & -1 1 & 1 & 0 2 & 3 & -1
e pede (i) A^-1 e a expressão de A como produto de matrizes elementares, e (ii) verificar se as afirmações (a)–(d) são verdadeiras ou falsas.
Para (i) vamos usar eliminação de Gauss–Jordan em [Amid I], registrar cada operação por uma matriz elementar Ei de modo que Ekcdots E1A=I; daí A^-1=Ekcdots E1 e A=(Ekcdots E1)^-1=!E1^-1cdots Ek^-1.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e trocamos R1rightarrow R2 para ter pivô 1:
[Amid I] =[ccc|ccc 2&1&-1&1&0&0 1&1&0&0&1&0 2&3&-1&0&0&1 ]
A troca corresponde à
E1= 0&1&0 1&0&0 0&0&1 ,
e gera
[ccc|ccc 1&1&0&0&1&0 2&1&-1&1&0&0 2&3&-1&0&0&1 ]

Passo 3

Eliminamos abaixo de a11 fazendo
R2 R2-2R1 e R3 R3-2R1.
As matrizes elementares são
E2= 1&0&0 -2&1&0 0&0&1 , E3= 1&0&0 0&1&0 -2&0&1 ,
e obtemos
[ccc|ccc 1&1&0&0&1&0 0&-1&-1&1&-2&0 0&1&-1&0&-2&1 ]

Passo 4

Para pivô em (2,2) fazemos primeiro
R2 -R2, depois anulações
R1 R1-R2 e R3 R3-R2.
As matrizes correspondentes são
E4=diag(1,-1,1), E5= 1&-1&0 0&1&0 0&0&1 , E6= 1&0&0 0&1&0 0&-1&1 ,
resultando em
[ccc|ccc 1&0&-1&1&-1&0 0&1&1&-1&2&0 0&0&-2&1&0&1 ]

Passo 5

Na coluna 3, fazemos
R3 -tfrac12R3, depois
R1 R1+R3 e R2 R2-R3.
As matrizes são
E7= 1&0&0 0&1&0 0&0&-tfrac12 , E8= 1&0&1 0&1&0 0&0&1 , E9= 1&0&0 0&1&-1 0&0&1 ,
e chegamos a
[ccc|ccc 1&0&0&tfrac12&-1&-tfrac12 0&1&0&-tfrac12&2&tfrac12 0&0&1&-tfrac12&0&-tfrac12 ]

Passo 6

Como
E9E8E7E6E5E4E3E2E1,A = I,
segue
A^-1 =E9E8E7E6E5E4E3E2E1 = tfrac12 & -1 & -tfrac12 -tfrac12 & 2 & tfrac12 -tfrac12 & 0 & -tfrac12
E como
A=l(E9cdots E1r)^-1 =E1^-1E2^-1cdots E9^-1,
obtivemos a fatoração de A em produto de matrizes elementares.

Passo 7

(a) Falsa.
Contra-exemplo: seja A=0 (matriz zero), então AX=0 admite infinitas soluções, mas AX=B só tem solução se B=0. Para Bneq0 não há solução.

Passo 8

(b) Falsa.
Se AX1=0 e AY1=B, então
A(2X1+3Y1)=2AX1+3AY1=2cdot0+3B=3Bneq B,
a menos que B=0. Logo não vale, em geral.

Passo 9

(c) Verdadeira.
Para de tamanho , , há pelo menos variáveis livres em , logo infinitas soluções.

Passo 10

(d) Falsa.
Contra-exemplo em 2times2:
A=0&11&0
é simétrica, mas para
B=0&10&0
temos
AB=0&00&1neq 1&00&0=BA

Resposta

A^-1= tfrac12 & -1 & -tfrac12 -tfrac12 & 2 & tfrac12 -tfrac12 & 0 & -tfrac12
A=E1^-1E2^-1cdots E9^-1 com os Ei listados acima.
(a) Falsa. (b) Falsa. (c) Verdadeira. (d) Falsa.

Exercícios relacionados