Verificar se são L.I ou L.D os seguintes conjuntos:
\mathrm{M}(2,2) é o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2.
\{(-1,-1,0,3),(2,-1,0,0),(1,0,0,0)\} Ì \hat{\mathrm{A}}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se dois conjuntos são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.):
a) o conjunto de matrizes em \mathrm{M}(2,2), e
b) o conjunto de vetores em \mathbb{R}^4.

Passo 2

Para a parte (a), nomeamos
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]4 & -3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}3 & 6\\[6pt]-12 & -9\end{pmatrix}.
Testamos a combinação linear nula:
c_1\,A + c_2\,B = 0_{\mathrm{M}(2,2)}.
Isso gera o sistema de equações, igualando cada entrada a zero:
\begin{cases} c_1\cdot 1 + c_2\cdot 3 = 0,\\[4pt] c_1\cdot 2 + c_2\cdot 6 = 0,\\[4pt] c_1\cdot 4 + c_2\cdot (-12) = 0,\\[4pt] c_1\cdot(-3) + c_2\cdot(-9) = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem c_1 + 3c_2=0. A segunda é 2c_1+6c_2=0, que é o dobro da primeira, e a terceira é 4c_1-12c_2=0, que equivale a c_1-3c_2=0. Tanto a primeira quanto a terceira só admitem
c_1=0,\quad c_2=0.
Logo não há combinação não trivial, e o conjunto \{A,B\} é L.I.]

Passo 3

Para a parte (b), definimos os vetores
v_1 = (-1,-1,0,3),\quad v_2 = (2,-1,0,0),\quad v_3 = (1,0,0,0).
Procuramos escalares a,b,c\) tais que \[a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente, obtemos
\begin{cases} -\,a + 2\,b + c = 0,\\[4pt] -\,a - b + 0\cdot c = 0,\\[4pt] 0\cdot a + 0\cdot b + 0\cdot c = 0,\\[4pt] 3\,a + 0\cdot b + 0\cdot c = 0. \end{cases}
Da quarta equação surge 3a=0\implies a=0\]. Substituindo na segunda, \(-0 - b=0\implies b=0. Finalmente, na primeira, 0 +2\cdot0 + c=0\implies c=0. Só há solução trivial, de modo que \{v_1,v_2,v_3\} é L.I.]

Resposta

a) \{A,B\} é linearmente independente.
b) \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente.

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