Determine se os seguintes vetores em \mathrm{i}^{3} são LD ou não.
(1,-2,1) ;(2,1,-1) ;(7,-4,1)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,-2,1),\quad v_2=(2,1,-1),\quad v_3=(7,-4,1),
e pede para determinar se eles são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI). Para isso, vamos usar o critério de combinação linear: em \mathbb{R}^3, três vetores são LD se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Procuramos escalares a e b tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = v_3,
isto é,
a\,(1,-2,1) + b\,(2,1,-1) = (7,-4,1).

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
a + 2b = 7,
-2a + b = -4,
a - b = 1.

Passo 4

Da terceira equação vem
a = 1 + b.
Substituindo na primeira:
(1+b) + 2b = 7 \implies 3b + 1 = 7 \implies b = 2,
portanto
a = 1 + 2 = 3.
Verificando na segunda:
-2\cdot 3 + 2 = -6 + 2 = -4,
que coincide com o sistema.

Passo 5

Concluímos que
v_3 = 3\,v_1 + 2\,v_2.
Como v_3 é combinação linear não trivial de v_1 e v_2, os três vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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