Verificar se são L.I ou L.D os seguintes conjuntos:
\mathrm{M}(2,2) é o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2.
\left\{1+2 x-x^{2}, 2-x+3 x^{2}, 3-4 x+7 x^{2}\right\} \dot{\mathbf{l}} \mathbf{P}_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se dois conjuntos são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.):
– (a) um conjunto de três matrizes em \mathrm{M}(2,2) cujos elementos estão na imagem anexa;
– (b) o conjunto de polinômios \{\,1+2x - x^2,\;2 - x +3x^2,\;3 -4x +7x^2\} em \mathbf{P}_2.
Para cada caso, precisamos montar a combinação linear igual a zero e verificar se só existe a solução trivial.

Passo 2

Na parte (a) as entradas das matrizes não ficaram legíveis na imagem fornecida. Como não temos acesso aos coeficientes exatos de cada matriz, não é possível montar a combinação linear nem resolver para os escalares. Portanto não há como decidir L.I. ou L.D. sem a informação completa.

Passo 3

Na parte (b) representamos cada polinômio em coordenadas na base \{1,x,x^2\}:
v_1=(1,2,-1),\quad v_2=(2,-1,3),\quad v_3=(3,-4,7).
Procuramos c_1,c_2,c_3 tais que
c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = (0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 0,\\\\ 2c_1 - c_2 - 4c_3 = 0,\\\\ -\,c_1 + 3c_2 + 7c_3 = 0. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação c_1 = -2c_2 -3c_3. Substituindo na segunda:
2(-2c_2-3c_3)-c_2-4c_3=0 \;\Longrightarrow\;-5c_2 -10c_3=0 \;\Longrightarrow\;c_2=-2c_3.
Então c_1 = -2(-2c_3)-3c_3 = c_3. A terceira equação fica
-\,c_1+3c_2+7c_3 = -c_3 +3(-2c_3)+7c_3 =0,
que é automática. Logo
(c_1,c_2,c_3)=(t,-2t,t),\\ t\neq0
é solução não trivial. Isso mostra dependência linear.

Resposta

(a) Não é possível determinar L.I. ou L.D. pois os dados das matrizes não estão legíveis.
(b) Os polinômios são linearmente dependentes.

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