Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de Mn times n(R):
o conjunto de todas as matrizes A de tamanho n times n simétricas

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
;S=Ain Mntimes n(R)mid A^T=A
das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de Mntimes n(R).
Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. Sneqvarnothing.
  2. Se A,Bin S então A+Bin S.
  3. Se Ain S e alphainR então alpha Ain S.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0 está em S, pois
0^T=0
é verdadeira. Logo Sneqvarnothing.

Passo 3

Tomando A,Bin S, temos A^T=A e B^T=B. Então
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B,
logo A+Bin S, provando a fechamento em soma.

Passo 4

Para alphainR e Ain S com A^T=A,
(alpha A)^T=alpha,A^T=alpha A,
logo alpha Ain S, provando o fechamento em multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes simétricas é de fato um subespaço de Mntimes n(R).

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