Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
o conjunto de todas as matrizes
de tamanho
simétricas
o conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de .
Para isso precisamos checar três propriedades:
das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
Para isso precisamos checar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
está em
, pois
é verdadeira. Logo
.
Passo 3
Tomando
, temos
e
. Então
logo
, provando a fechamento em soma.
Passo 4
Para
e
com
,
logo
, provando o fechamento em multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes simétricas é de fato um subespaço de
.