Verificar se o seguinte campo vetorial é conservativo em algum domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
r(x, y)=(1+y sen(x), 1-cos (x));

Passo 1

O enunciado nos apresenta o campo vetorial vec F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) = (1 + ysin x, ;1 - cos x). O objetivo é verificar se vec F é conservativo (isto é, existe potencial escalar phi(x,y) tal que nablaphi = vec F) e, em caso afirmativo, encontrá-lo. Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas cruzadas e depois integrar para obter phi.

Passo 2

Para verificar se o campo é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
  • partial Ppartial y = partialpartial y(1 + ysin x) = sin x
  • partial Qpartial x = partialpartial x(1 - cos x) = sin x
    Como partial P/partial y = partial Q/partial x = sin x em todo e esse domínio é simplesmente conexo, concluímos que R^2 é conservativo em .

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) = integral (1 + ysin x),dx = x - ycos x + h(y),
onde h(y) é uma função arbítraria de y. Para determinar h(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y = -cos x + h'(y) stackrel!= 1 - cos x
Desse modo, temos h'(y) = 1, logo h(y) = y + C, com C constante. Incorporando h(y) em phi obtemos:
phi(x,y) = x - ycos x + y + C

Resposta

O campo é conservativo em todo e uma função potencial é R^2 (à constante aditiva perto).

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