Verificar se o seguinte campo vetorial é conservativo em algum domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
;
Passo 1
O enunciado nos apresenta o campo vetorial
. O objetivo é verificar se
é conservativo (isto é, existe potencial escalar
tal que
) e, em caso afirmativo, encontrá-lo. Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas cruzadas e depois integrar para obter
.
Passo 2
Para verificar se o campo é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
-
-
Comoem todo e esse domínio é simplesmente conexo, concluímos que é conservativo em .
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbítraria de
. Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Desse modo, temos
, logo
, com
constante. Incorporando
em
obtemos:
Resposta
O campo é conservativo em todo e uma função potencial é
(à constante aditiva perto).