Verificar se o seguinte limite existe
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \ln \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede para verificar se o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \ln\!\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right)
existe quando (x,y) tende a (0,0).
  • A função em questão é f(x,y)=\ln\!\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right).
  • Observações imediatas fornecidas pelo enunciado:
    • O numerador x^{2}+y^{2} é sempre \ge 0 e tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).
    • O denominador x-y+1 avaliado em (0,0) vale 1, portanto é estritamente positivo no ponto de interesse.
  • Não há imagens ou informações externas ao enunciado.

Passo 2

Verificar domínio e sinal do argumento do logaritmo perto de (0,0).
  • Para que \ln esteja definido precisamos que a razão \dfrac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1} seja estritamente positiva.
  • Avaliando o denominador em (0,0) obtemos x-y+1=1>0. Portanto, em uma vizinhança pequena de (0,0) o denominador permanece positivo (desde que não nos afastemos muito).
  • Mais formalmente, se escolhermos |x|<\tfrac{1}{4} e |y|<\tfrac{1}{4} então |x-y|\le |x|+|y|<\tfrac{1}{2}, logo
x-y+1 \ge 1-\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}>0.
  • Assim, em todo ponto com |x|<\tfrac{1}{4}, |y|<\tfrac{1}{4} e (x,y)\neq(0,0) a razão é não negativa e, para (x,y)\neq(0,0), estritamente positiva. Portanto \ln está bem definido para esses pontos (exceto no próprio (0,0), onde o numerador é zero e a razão é 0, e \ln 0 não existe).

Passo 3

Mostrar que a razão dentro do logaritmo tende a 0.
  • Usando a desigualdade do passo anterior, para |x|<\tfrac{1}{4}, |y|<\tfrac{1}{4} tem-se
0 \le \frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1} \le \frac{x^{2}+y^{2}}{1/2} = 2(x^{2}+y^{2}).
  • Sabemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2}) = 0. Pelo princípio do confronto (squeeze theorem), como a quantidade buscada fica entre 0 e 2(x^{2}+y^{2}) e o limite do superior é 0, concluímos que
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1} = 0.

Passo 4

Converter a informação sobre a razão em conclusão sobre o logaritmo.
  • Conhecimento útil: a função \ln(t) para t>0 é monótona crescente e satisfaz \lim_{t\to 0^{+}}\ln(t) = -\infty. Em palavras: quando o argumento positivo do logaritmo tende a zero, o logaritmo tende a menos infinito.
  • Como vimos no passo anterior a razão r(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1} tende a 0^{+} quando (x,y)\to(0,0). Para (x,y) suficientemente próximos de (0,0) temos 0<r(x,y)\le 2(x^{2}+y^{2}), então por monotonicidade do \ln
\ln\!\big(r(x,y)\big)\le \ln\!\big(2(x^{2}+y^{2})\big).
  • Como \lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln\!\big(2(x^{2}+y^{2})\big) = -\infty (porque 2(x^{2}+y^{2})\to 0^{+}), segue que \ln\!\big(r(x,y)\big)\to -\infty também.
  • Portanto a expressão \ln\!\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right) não tem limite finito; ela diverge negativamente.

Passo 5

Interpretação final e observação sobre existência do limite.
  • Em linguagem precisa: o limite não existe como número real finito. Contudo existe o limite no sentido estendido e vale -\infty, isto é a expressão tende a menos infinito quando (x,y)\to(0,0).
  • Intuitivamente: o numerador vai para zero mais rápido (é quadrático) enquanto o denominador fica perto de 1, então a razão tende a 0^{+} e o \ln de algo que tende a zero positivo vai para -\infty.

Resposta

-\infty

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