Verificar se o seguinte limite existe
’
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede para verificar se o limite
existe quando
tende a
.
- A função em questão é
. - Observações imediatas fornecidas pelo enunciado:
- O numerador
é sempre e tende a quando . - O denominador
avaliado em vale , portanto é estritamente positivo no ponto de interesse.
- O numerador
- Não há imagens ou informações externas ao enunciado.
Passo 2
Verificar domínio e sinal do argumento do logaritmo perto de
.
- Para que
esteja definido precisamos que a razão seja estritamente positiva. - Avaliando o denominador em
obtemos . Portanto, em uma vizinhança pequena de o denominador permanece positivo (desde que não nos afastemos muito). - Mais formalmente, se escolhermos
e então , logo
- Assim, em todo ponto com
, e a razão é não negativa e, para , estritamente positiva. Portanto está bem definido para esses pontos (exceto no próprio , onde o numerador é zero e a razão é , e não existe).
Passo 3
Mostrar que a razão dentro do logaritmo tende a
.
- Usando a desigualdade do passo anterior, para
, tem-se
- Sabemos que
. Pelo princípio do confronto (squeeze theorem), como a quantidade buscada fica entre e e o limite do superior é , concluímos que
Passo 4
Converter a informação sobre a razão em conclusão sobre o logaritmo.
- Conhecimento útil: a função
para é monótona crescente e satisfaz . Em palavras: quando o argumento positivo do logaritmo tende a zero, o logaritmo tende a menos infinito. - Como vimos no passo anterior a razão
tende a quando . Para suficientemente próximos de temos , então por monotonicidade do
- Como
(porque ), segue que também. - Portanto a expressão
não tem limite finito; ela diverge negativamente.
Passo 5
Interpretação final e observação sobre existência do limite.
- Em linguagem precisa: o limite não existe como número real finito. Contudo existe o limite no sentido estendido e vale
, isto é a expressão tende a menos infinito quando . - Intuitivamente: o numerador vai para zero mais rápido (é quadrático) enquanto o denominador fica perto de
, então a razão tende a e o de algo que tende a zero positivo vai para .