Faça o mapa de contorno da função f mostrando várias curvas de nível. f(x, y)=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)’
Passo 1
O enunciado dá a função \;f(x,y)=2-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\; e pede para fazer o mapa de contorno, isto é, mostrar várias curvas de nível.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função é \;f(x,y)=2-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\;.
O pedido é desenhar/identificar curvas de nível (lugar dos pontos (x,y) onde f tem o mesmo valor).
Passo 2
Definição e procedimento para obter curvas de nível (aula curtinha):
Uma curva de nível para um valor \;c\; é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Isso significa que, para cada número \;c\; escolhido, devemos resolver a equação
2-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=c
para obter a curva no plano xy.
Passo 3
Aplicando a definição à função dada: resolver \;2-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=c\;. Reorganizando,
x^{2}+y^{2}=2-c.
Essa é a equação de um círculo centrado na origem com raio \;r\; satisfazendo
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2-c}.
Passo 4
Domínio dos valores de nível possíveis: como x^{2}+y^{2}\ge0 para todos os pontos, da equação \;x^{2}+y^{2}=2-c\; segue que 2-c\ge0. Logo
c\le 2.
Portanto valores de nível \;c>2\; não geram pontos reais; todos os \;c\le 2\; geram círculos (ou um ponto, quando c=2).
Passo 5
Interpretação geométrica: todas as curvas de nível são círculos concêntricos centrados em (0,0). O valor de f é maior no centro e diminui radialmente para fora (porque f depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2} com sinal negativo). Em palavras: o mapa de contorno é um conjunto de círculos com raios dados por \;r=\sqrt{2-c}\;, com etiquetas dos níveis \;c\; sobre cada círculo.
Passo 6
Escolha de vários níveis práticos e cálculo dos raios (para desenhar): selecione níveis igualmente espaçados em valor de f, por exemplo \;c=2,\,1,\,0,\,-1,\,-2,\,-7\;. Calculando os raios:
Como desenhar o mapa de contorno (passo a passo prático, sem perder tempo na prova):
Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (por exemplo, marcações em 0,\,1,\,2,\,3 no eixo).
No centro (origem) coloque o valor f(0,0)=2 — isso corresponde ao nível c=2 que é um único ponto.
Desenhe círculos concêntricos com os raios calculados acima: raio 1 para c=1, raio \sqrt{2} para c=0, raio \sqrt{3} para c=-1, raio 2 para c=-2, raio 3 para c=-7.
Em cada círculo escreva o valor do nível c (por exemplo, perto do círculo de raio 1 escreva c=1).
Opcional: desenhe setas radiais indicando que f diminui quando r aumenta (isto é, para fora dos círculos o valor de f é menor).
Passo 8
Intuição adicional e relação com o gradiente (útil na prova):
Calcule o gradiente
\nabla f(x,y)=\bigl(-2x,\,-2y\bigr)=-2(x,y).
A magnitude é
\|\nabla f\|=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2r.
Significado: perto da origem \|\nabla f\| é pequeno (mudança lenta de f), por isso as curvas de nível ficam mais espaçadas próximo ao centro; quanto maior r, maior \|\nabla f\| (mudança mais rápida), então para mudanças iguais em c as curvas ficam mais próximas quando se vai para fora. Uma forma rápida de ver isso com a fórmula do raio é derivar r=\sqrt{2-c}:
\frac{dr}{dc}=-\frac{1}{2\sqrt{2-c}}.
Para c próximo de 2 temos \sqrt{2-c} pequeno e \bigl|dr/dc\bigr| grande → grandes saltos em r para pequenas variações em c (curvas mais separadas). Para c muito menores, \bigl|dr/dc\bigr| reduz → curvas mais próximas.
Passo 9
Resumo prático para a prova (o que escrever/mostrar):
Escreva a equação geral das curvas de nível
x^{2}+y^{2}=2-c,
explique que são círculos centrados em (0,0) com raio \;r=\sqrt{2-c}\; e que os níveis possíveis satisfazem \;c\le 2\;.
Mostre alguns níveis específicos (por exemplo os do Passo 6) desenhados e rotulados.
Se for pedido, comente sobre o espaçamento usando \nabla f ou \dfrac{dr}{dc} como justificação.
Resposta
Nível geral: x^{2}+y^{2}=2-c (círculos centrados em (0,0) com raio r=\sqrt{2-c}, válidos para c\le 2).
Exemplos de curvas de nível desenháveis: c=2:\;x^{2}+y^{2}=0 (origem), c=1:\;x^{2}+y^{2}=1 (raio 1), c=0:\;x^{2}+y^{2}=2 (raio \sqrt{2}\approx 1,414), c=-1:\;x^{2}+y^{2}=3 (raio \sqrt{3}\approx 1,732), c=-2:\;x^{2}+y^{2}=4 (raio 2), c=-7:\;x^{2}+y^{2}=9 (raio 3).