Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Caso 4) Calcule integral x^3+2(x^2+2 x+2)^2 d x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3+2l(x^2+2x+2r)^2,dx
usando frações parciais no caso de fator quadrático irreduzível repetido (caso 4). Vamos precisar completar o quadrado no denominador, fazer mudança de variável para simplificar, decompor em frações parciais e depois integrar cada termo conhecido.

Passo 2

Complete o quadrado em x^2+2x+2. Note que
x^2+2x+2 = (x+1)^2+1
Faça a substituição
t = x+1, dx = dt,
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x = t-1, x^2+2x+2 = t^2+1
O numerador fica
x^3+2 = (t-1)^3+2 = t^3-3t^2+3t-1+2 = t^3-3t^2+3t+1
Portanto a integral vira
integral t^3-3t^2+3t+1(t^2+1)^2,dt

Passo 3

Proponha a decomposição em frações parciais
t^3-3t^2+3t+1(t^2+1)^2 = A,t+Bt^2+1 ;+;C,t+D(t^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (t^2+1)^2 obtemos
t^3-3t^2+3t+1 = (A,t+B)(t^2+1)+(C,t+D)
Expanda o lado direito:
(A,t+B)(t^2+1)+(C,t+D) = A,t^3+B,t^2+A,t+B +C,t+D = A,t^3 + B,t^2 + (A+C),t + (B+D)

Passo 4

Compare coeficientes em
A,t^3 + B,t^2 + (A+C),t + (B+D) equiv t^3-3t^2+3t+1
Dessa comparação vem o sistema
A = 1, B = -3, A + C = 3, B + D = 1
Logo
A=1, B=-3, C=3-A=2, D=1- B=4

Passo 5

Substituindo em cada fração parcial temos
t^3-3t^2+3t+1(t^2+1)^2 = t-3t^2+1 + 2t+4(t^2+1)^2
Assim a integral separa em dois termos:
integral t-3t^2+1,dt ;+;integral 2t+4(t^2+1)^2,dt

Passo 6

Calcule
integral t-3t^2+1,dt = integral tt^2+1,dt ;-;3integral 1t^2+1,dt
Para o primeiro use u=t^2+1, du=2t,dt:
integral tt^2+1,dt = 12integral duu = 12lnl(t^2+1r)
Para o segundo é conhecido:
integral 1t^2+1,dt = arctan t
Logo
integral t-3t^2+1,dt = 12lnl(t^2+1r) -3,arctan t

Passo 7

Calcule
integral 2t+4(t^2+1)^2,dt =2integral t(t^2+1)^2,dt +4integral 1(t^2+1)^2,dt
Para o primeiro, use u=t^2+1, du=2t,dt:
2integral t(t^2+1)^2,dt =2cdot12integral u^-2,du =-1u =-1t^2+1
Para o segundo, use a primitiva padrão
integral 1(t^2+1)^2,dt =t2(t^2+1) + 12arctan t
Multiplicando por 4:
4integral 1(t^2+1)^2,dt =2,tt^2+1 +2,arctan t
Somando,
integral 2t+4(t^2+1)^2,dt =-1t^2+1 + 2tt^2+1 +2,arctan t

Passo 8

Junte os resultados dos passos anteriores:
integral t^3-3t^2+3t+1(t^2+1)^2,dt = 12lnl(t^2+1r) -3arctan t ;-;1t^2+1 + 2tt^2+1 +2arctan t + C
Combine termos em arctan t:
-3arctan t +2arctan t = -arctan t. Assim
= 12lnl(t^2+1r) - arctan t + 2t-1t^2+1 + C

Passo 9

Volte à variável x, lembrando t=x+1 e t^2+1=x^2+2x+2. Assim
12lnl(t^2+1r) = 12lnl(x^2+2x+2r), arctan t = arctan(x+1),
2t-1t^2+1 = 2(x+1)-1x^2+2x+2 = 2x+1x^2+2x+2
Logo a primitiva final é
boxed integral x^3+2l(x^2+2x+2r)^2,dx = 12lnl(x^2+2x+2r) - arctan(x+1) + 2x+1x^2+2x+2 + C

Resposta

integral x^3+2l(x^2+2x+2r)^2,dx = 12lnl(x^2+2x+2r) - arctan(x+1) + 2x+1x^2+2x+2 + C

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