Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Caso 4) Calcule .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando frações parciais no caso de fator quadrático irreduzível repetido (caso 4). Vamos precisar completar o quadrado no denominador, fazer mudança de variável para simplificar, decompor em frações parciais e depois integrar cada termo conhecido.
Passo 2
Complete o quadrado em . Note que
Faça a substituição
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O numerador fica
Portanto a integral vira
Passo 3
Proponha a decomposição em frações parciais
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Expanda o lado direito:
Passo 4
Compare coeficientes em
Dessa comparação vem o sistema
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A=1, B=-3, C=3-A=2, D=1- B=4
Passo 5
Substituindo em cada fração parcial temos
t^3-3t^2+3t+1(t^2+1)^2 = t-3t^2+1 + 2t+4(t^2+1)^2
Assim a integral separa em dois termos:
integral t-3t^2+1,dt ;+;integral 2t+4(t^2+1)^2,dt
Passo 6
Calcule
integral t-3t^2+1,dt = integral tt^2+1,dt ;-;3integral 1t^2+1,dt
Para o primeiro use u=t^2+1, du=2t,dt:
integral tt^2+1,dt = 12integral duu = 12lnl(t^2+1r)
Para o segundo é conhecido:
integral 1t^2+1,dt = arctan t
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integral t-3t^2+1,dt = 12lnl(t^2+1r) -3,arctan t
Passo 7
Calcule
integral 2t+4(t^2+1)^2,dt =2integral t(t^2+1)^2,dt +4integral 1(t^2+1)^2,dt