Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
integral x^2x^2+3 d x=x-raiz3 arctg(raiz3 x3)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a seguinte igualdade de integrais é correta:
integral x^2x^2+3,dx = x - raiz3,arctg!l(raiz3,x3r) + C
O conteúdo aqui é integração de função racional simples. Vamos usar divisão de polinômios (ou “quebra” em termos de frações parciais) para integrar.

Passo 2

Observe que
x^2x^2+3 = 1 - 3x^2+3
Logo
integral x^2x^2+3,dx = integral 1,dx ;-; 3integral 1x^2+3,dx

Passo 3

Calculamos cada parte:
integral 1,dx = x,
e para a outra parte usamos a fórmula
integral 1x^2+a^2,dx = 1a,arctan!l(tfracxar)
Aqui a^2=3, então a=raiz3 e
integral 1x^2+3,dx = 1raiz3,arctan!l(tfracxraiz3r)
Multiplicando por 3
3integral 1x^2+3,dx = 3cdot1raiz3,arctan!l(tfracxraiz3r) = raiz3,arctan!l(tfracxraiz3r)

Passo 4

Juntando os resultados:
integral x^2x^2+3,dx = x ;-; raiz3,arctan!l(tfracxraiz3r) + C
Como
arctan(tfracxraiz3)=arctg(tfracraiz3,x3), o resultado coincide exatamente com o dado.

Resposta

A igualdade é válida.

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