Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Caso 1) Calcule integral x+5x^2+x-2 d x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x+5x^2+x-2,dx
O conteúdo aqui é frações parciais, no caso 1 (denominador fatorável em raízes reais distintas). Vamos precisar fatorar o denominador e decompor em frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2+x-2 = (x+2)(x-1)
Como as raízes x=-2 e x=1 são reais e distintas, estamos no caso 1 de frações parciais.

Passo 3

Assumimos a decomposição
x+5(x+2)(x-1) = Ax+2 + Bx-1

Passo 4

Somando as frações obtemos
Comparando com
Da primeira equação (A=1-B]. Substituindo na segunda:

Passo 5

Reescrevendo a integral com A=-1 e B=2:
integral x+5x^2+x-2,dx = integrall(-1x+2 + 2x-1r),dx
Integramos termo a termo:
integral -1x+2,dx = -lnlvert x+2rvert, integral 2x-1,dx = 2lnlvert x-1rvert

Passo 6

Somando as primitivas e adicionando a constante de integração C:
integral x+5x^2+x-2,dx = -lnlvert x+2rvert + 2lnlvert x-1rvert + C

Resposta

integral x+5x^2+x-2,dx = -lnlvert x+2rvert + 2lnlvert x-1rvert + C

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