Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
integral e^ln (x^2) x d x=x^33+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
integral e^lnl(x^2r),x,dx ;=;x^33+C
é válida. O conteúdo principal é simplificar a expressão usando propriedades de logaritmo e exponencial, calcular a integral de um monômio e, em seguida, checar a correção da primitiva obtida (por derivação).

Passo 2

Usamos a identidade e^ln(u)=u (para u>0 ou via extensão u=x^2 para xneq0). Assim,
e^lnl(x^2r) = x^2
Logo o integrando fica
e^lnl(x^2r),x = x^2,x = x^3
Portanto a integral original é
integral e^lnl(x^2r),x,dx = integral x^3,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de x^3. Pela regra de potência,
integral x^3,dx = x^44 + C

Passo 4

Para ver se a primitiva proposta tfracx^33+C está certa, derivamos:
ddxl(tfracx^33+Cr) = x^2,
mas o integrando real é x^3. Como x^2neq x^3, a proposta está incorreta.

Resposta

A igualdade não é válida. A integral correta é
integral e^lnl(x^2r),x,dx = x^44 + C

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