Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição verificar as seguintes integrais.
integral d xraiz3-2 x-x^2=arcsen(x-12)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
integral dxraiz3-2x-x^2 =arcsin!l(x-12r)+C
usando o método de substituição. O conteúdo envolvido é integração de função com raiz quadrática; vamos completar o quadrado e fazer a troca trigonométrica.

Passo 2

Completar o quadrado no radicando:
3-2x-x^2 = -(x^2+2x-3) = -l((x+1)^2-4r) =4-(x+1)^2
Logo
raiz3-2x-x^2 = raiz4-(x+1)^2

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x+1 = 2sintheta,
de modo que
sintheta=x+12, dx = 2costheta,dtheta, raiz4-(x+1)^2=2costheta
A integral fica
integral dxraiz4-(x+1)^2 = integral 2costheta,dtheta2costheta = integral dtheta = theta + C
Voltando a x, temos
theta = arcsin!l(x+12r),
portanto
integral dxraiz3-2x-x^2 = arcsin!l(tfracx+12r)+C

Passo 4

A expressão dada na questão usa arcsinl(x-12r), mas o correto, conforme achamos, é
arcsinl(tfracx+12r). Logo a igualdade proposta não é válida.

Resposta

A igualdade não vale. O resultado correto é
integral dxraiz3-2x-x^2 = arcsin!l(tfracx+12r)+C

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