Determine um plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^2+2 x y+5 que seja paralelo ao plano x+y+z-3=0.

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=x^2+2xy+5
que seja paralelo ao plano dado
x+y+z-3=0
Para isso usamos o fato de que o plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) tem normal
(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1)
e devemos igualar essa direção à normal (1,1,1) do plano dado.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=2x+2y,
fy(x,y)=2x
O vetor normal ao plano tangente em (x,y) é
l(fx(x,y),,fy(x,y),,-1r)

Passo 3

Para que esse vetor seja paralelo a (1,1,1), existe lambda tal que
l(fx,fy,-1r) =lambda,(1,1,1)
Do terceiro componente vem -1=lambda. Então
fx=2x+2y=lambda=-1,
fy=2x=lambda=-1
Da segunda equação obtemos 2x=-1Rightarrow x=-tfrac12. Substituindo em 2x+2y=-1
-1+2y=-1Rightarrow y=0

Passo 4

O ponto fica l(x0,y0r)=l(-tfrac12,0r). Então
z0=fl(-tfrac12,0r) =l(-tfrac12r)^2+2cdotl(-tfrac12r)cdot0+5 =tfrac14+5 =tfrac214

Passo 5

A equação do plano tangente é
z-z0 =fx(x0,y0),(x-x0) +fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo fx(x0,y0)= -1, fy(x0,y0)=-1, x0=-tfrac12, y0=0, z0=tfrac214:
z-tfrac214 =-1,(x+tfrac12)-1,(y-0) ;Longrightarrow; z=-x-y+tfrac194
Reescrevendo em forma padrão:
x+y+z-194=0

Resposta

x+y+z-194=0

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