Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale
Para isso, vamos derivar o lado direito e mostrar que a derivada é exatamente
tfracx^2-3xraizx^4-4 .
Passo 2
Defina
Vamos calcular
F'(x) em dois blocos: a derivada do logaritmo e a derivada de
arcsec .
Passo 3
Derivada do logaritmo: seja
U(x)=x^2+raizx^4-4 .
Então
Então
Logo
Passo 4
Derivada de
arcsec(tfracx^22) : seja
V(x)=tfracx^22 . Sabe-se
Como
|V|=tfracx^22 e
raizV^2-1=tfrac12raizx^4-4 , temos
Multiplicando por
-tfrac34 dá
Passo 5
Somando as duas contribuições obtemos
que é exatamente o integrando original.
Resposta
A igualdade é válida, pois ao derivar o lado direito recupera-se
x^2-3xraizx^4-4 .