Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral x^2-3x raizx^4-4 d x=12[ln |x^2+raizx^2-4|-32 arcsec(x^22)]+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale
integral x^2-3x raizx^4-4,dx = 12l[lnl|x^2+raizx^4-4r|-32,arcsec!l(tfracx^22r)r]+C
Para isso, vamos derivar o lado direito e mostrar que a derivada é exatamente tfracx^2-3xraizx^4-4.

Passo 2

Defina
F(x) = 12lnl|x^2+raizx^4-4r| ;-;34,arcsec!l(tfracx^22r)
Vamos calcular F'(x) em dois blocos: a derivada do logaritmo e a derivada de arcsec.

Passo 3

Derivada do logaritmo: seja U(x)=x^2+raizx^4-4.
Então
U'(x) =2x+12,ddx(x^4-4)^1/2 =2x+12cdot4x^3raizx^4-4 =2x+2x^3raizx^4-4
Logo
ddxl[tfrac12ln U(x)r] =12,U'(x)U(x) =x+tfracx^3raizx^4-4x^2+raizx^4-4 =xraizx^4-4

Passo 4

Derivada de arcsec(tfracx^22): seja V(x)=tfracx^22. Sabe-se
ddxl[arcsec(V)r] =V'|V|raizV^2-1 e V'(x)=x
Como |V|=tfracx^22 e
raizV^2-1=tfrac12raizx^4-4, temos
ddxl[arcsec(tfracx^22)r] =xtfracx^22,tfracraizx^4-42 =4xraizx^4-4
Multiplicando por -tfrac34
-34cdot4xraizx^4-4 =-3xraizx^4-4

Passo 5

Somando as duas contribuições obtemos
F'(x) =xraizx^4-4 ;-;3xraizx^4-4 =x^2-3xraizx^4-4,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

A igualdade é válida, pois ao derivar o lado direito recupera-se x^2-3xraizx^4-4.

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