Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uma primitiva de
Para isso, vamos diferenciá-la e mostrar que
.
Passo 2
Separamos
com
Começamos por
. Escrevendo
com
temos
Pela regra do produto,
Passo 3
Agora
. Podemos pensar em
com
Usando regra da cadeia e produto,
então
Passo 4
Agora
. Logo,
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
e somando os numeradores, obtemos
Isso coincide exatamente com
.
Resposta
A igualdade está correta, pois diferenciando o lado direito obtemos o integrando
.