Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral d xx^4(x^2+3)^1 / 2=raizx^2+39 x-(x^2+3)^3 / 227 x^3+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
F(x)=raizx^2+39x-(x^2+3)^3/227,x^3
é uma primitiva de
f(x)=1x^4raizx^2+3
Para isso, vamos diferenciá-la e mostrar que F'(x)=f(x).

Passo 2

Separamos F(x)=F1(x)-F2(x) com
F1(x)=raizx^2+39x, F2(x)=(x^2+3)^3/227,x^3
Começamos por F1. Escrevendo F1(x)=u(x),v(x) com
u(x)=(x^2+3)^1/2, v(x)=19x,
temos
u'(x)=xraizx^2+3, v'(x)=-19x^2
Pela regra do produto,
F1'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =xraizx^2+3cdot19x -raizx^2+39x^2 =19raizx^2+3-raizx^2+39x^2

Passo 3

Agora F2(x). Podemos pensar em
F2(x)=tilde u(x),tilde v(x)
com
tilde u(x)=(x^2+3)^3/2, tilde v(x)=127,x^3
Usando regra da cadeia e produto,
tilde u'(x)=32(x^2+3)^1/2cdot2x=3xraizx^2+3, tilde v'(x)=-327,x^4=-19x^4,
então
F2'(x) =tilde u'(x),tilde v(x)+tilde u(x),tilde v'(x) =3xraizx^2+327,x^3 -(x^2+3)^3/29x^4 =raizx^2+39x^2 -(x^2+3)^3/29x^4

Passo 4

Agora F'(x)=F1'(x)-F2'(x). Logo,
F'(x) =l(19raizx^2+3-raizx^2+39x^2r) -l(raizx^2+39x^2-(x^2+3)^3/29x^4r)
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 9x^4raizx^2+3 e somando os numeradores, obtemos
F'(x) =x^4-2x^2(x^2+3)+(x^2+3)^29x^4raizx^2+3 =99x^4raizx^2+3 =1x^4raizx^2+3
Isso coincide exatamente com f(x).

Resposta

A igualdade está correta, pois diferenciando o lado direito obtemos o integrando tfrac1x^4raizx^2+3.

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