Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral x^2raiz1-x^2 d x=12 arcsen(x)-x2 raiz1-x^2+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando substituição trigonométrica, se vale a igualdade
integral x^2raiz1-x^2,dx = 12arcsin(x) - x2raiz1-x^2 + C
Aqui o conteúdo é integração por substituição trigonométrica, ou seja, reconhecer x=sintheta para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1-x^2 = costheta
Então o integrando vira
x^2raiz1-x^2,dx = sin^2thetacostheta,l(costheta,dthetar) = sin^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar sin^2theta usamos a identidade de ângulo duplo:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
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integral sin^2theta,dtheta = integral 1 - cos(2theta)2,dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C

Passo 4

Reescrevendo em termos de x:
theta = arcsin(x), sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2xraiz1-x^2
Substituindo na primitiva, obtemos
theta2 - sin(2theta)4 + C = 12arcsin(x) - 14l(2xraiz1-x^2r) + C = 12arcsin(x) - x2raiz1-x^2 + C

Passo 5

Comparando com a expressão dada, vemos que são idênticas. Portanto, a igualdade está corretamente verificada.

Resposta

A igualdade é válida.

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