Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando substituição trigonométrica, que
Vamos fazer a substituição
x=4tantheta , pois assim
raizx^2+16 fica proporcional a
sectheta .
Passo 2
Fazendo
x=4tantheta temos
Logo a integral vira
Passo 3
Para calcular
integral sec^2theta,csctheta,dtheta usamos integração por partes, escolhendo
Então
e
Sabemos também que
Portanto
Passo 4
Voltando à variável
x , multiplicamos tudo por
4 :
Agora
Logo
E para o logaritmo use-se a fórmula da tangente do ângulo metade:
Assim
Passo 5
Juntando tudo obtemos
que é exatamente a expressão dada. Portanto a igualdade é válida.
Resposta
A igualdade está correta e a integral, feita por substituição trigonométrica, resulta no mesmo que foi proposto.