Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral raizx^2+16x d x=raizx^2+16+2 ln |raizx^2+16-4raizx^2+16+4|+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando substituição trigonométrica, que
integral raizx^2+16x,dx = raizx^2+16 + 2 lnl|raizx^2+16-4raizx^2+16+4r| + C
Vamos fazer a substituição x=4tantheta, pois assim raizx^2+16 fica proporcional a sectheta.

Passo 2

Fazendo x=4tantheta temos
dx = 4sec^2theta,dtheta, raizx^2+16 = raiz16tan^2theta+16 =4sectheta
Logo a integral vira
integral raizx^2+16x,dx = integral 4sectheta4tantheta;4sec^2theta,dtheta = 4integral sec^3thetatantheta,dtheta = 4integral sec^2theta,csctheta,dtheta

Passo 3

Para calcular integral sec^2theta,csctheta,dtheta usamos integração por partes, escolhendo
u = csctheta, dv = sec^2theta,dtheta
Então
du = -cscthetacottheta,dtheta, v = tantheta,
e
integral sec^2theta,csctheta,dtheta = csctheta,tantheta - integral tanthetal(-cscthetacotthetar),dtheta = csctheta,tantheta + integral csctheta,dtheta
Sabemos também que
integral csctheta,dtheta = lnl|tan(tfractheta2)r| + C
Portanto
integral sec^2theta,csctheta,dtheta = csctheta,tantheta + lnl|tan(tfractheta2)r| + C

Passo 4

Voltando à variável x, multiplicamos tudo por 4:
4integral sec^2theta,csctheta,dtheta = 4,csctheta,tantheta + 4lnl|tan(tfractheta2)r| + C
Agora
tantheta = x4, sectheta = raizx^2+164, csctheta = 1sintheta = raizx^2+16x
Logo
4,csctheta,tantheta =4;raizx^2+16x;x4 =raizx^2+16
E para o logaritmo use-se a fórmula da tangente do ângulo metade:
tanl(theta2r) = sintheta1+costheta = tfracxraizx^2+16 1 + tfrac4raizx^2+16 = xraizx^2+16+4
Assim
4lnl|tan(tfractheta2)r| =4lnl|xraizx^2+16+4r| =2lnl|x^2(raizx^2+16+4)^2r| =2lnl|raizx^2+16-4raizx^2+16+4r| + C

Passo 5

Juntando tudo obtemos
integral raizx^2+16x,dx = raizx^2+16 + 2lnl|raizx^2+16-4raizx^2+16+4r| + C,
que é exatamente a expressão dada. Portanto a igualdade é válida.

Resposta

A igualdade está correta e a integral, feita por substituição trigonométrica, resulta no mesmo que foi proposto.

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