Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral d xx^3 raizx^2-1=12[arcsec(x)+raizx^2-1x]+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da igualdade
usando substituição trigonométrica. Vamos fazer a integral do lado esquerdo e comparar com o lado direito proposto.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica típica para raizx^2-1: definimos
x = sectheta, dx = sectheta,tantheta,dtheta, raizx^2-1 = tantheta,
válido para x>=1 e thetain[0,pi/2)cup(pi,3pi/2).

Passo 3

Substituindo na integral,
integral dxx^3raizx^2-1 = integral sectheta,tantheta,dtheta(sectheta)^3,tantheta = integral dthetasec^2theta = integral cos^2theta,dtheta
E sabemos que cos^2theta = tfrac1+cos2theta2, logo
integral cos^2theta,dtheta = integral 1+cos2theta2,dtheta = theta2 + sin2theta4 + C

Passo 4

Voltando a , usamos
e
. Como
e
, temos
Portanto a primitiva fica

Passo 5

Comparando com o lado direito proposto,
vemos que o segundo termo está diferente: obtivemos , e não . Logo a igualdade dada não é válida.

Resposta

A igualdade é inválida. O resultado correto é

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