Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral 1+raizx^2+1raiz(x^2+1)^3 d x=xraizx^2+1+arctg(x)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
integral 1+raizx^2+1raizl(x^2+1r)^3,dx =xraizx^2+1+arctan(x)+C
O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, usando a identidade
raizx^2+1=sec(t) com x=tan(t).

Passo 2

Fazendo a substituição
x = tan(t), dx = sec^2(t),dt, raizx^2+1=sec(t),
temos
raizl(x^2+1r)^3 = sec^3(t),
então o integrando fica
1+sec(t)sec^3(t),sec^2(t),dt =1+sec(t)sec(t),dt = l(1cdotcos(t)+1r),dt =l(cos(t)+1r),dt

Passo 3

Integramos em t:
integrall(cos(t)+1r),dt =integralcos(t),dt + integral 1,dt =sin(t) + t + C

Passo 4

Voltando a variável x, usamos
t = arctan(x), sin(t)=tan(t)sec(t)=xraizx^2+1,
logo
sin(t)+t + C =xraizx^2+1+arctan(x)+C
Isso coincide com o lado direito da igualdade dada.

Resposta

A igualdade é válida.

Exercícios relacionados